Дано вершини трикутника ABC A(5;-2), В(8;4), С(2;11)
Знайти:
1) рівняння сторони ВС;
Рівняння сторони будемо шукати за допомогою формули рівняння прямої, що проходить через дві задані точки \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1) Підставляємо координати вершин:
рівняння сторони BC , при відомих координатах вершини В(8;4), С(2;11) BC \quad \frac{x-8}{2-+8} = \frac{y-4}{11-4} => y = -\frac{7}{6}x +\frac{40}{3}
Відповідь: рівняння сторони BC: y = -\frac{7}{6}x +\frac{40}{3} \quad (2)
2) рівняння висоти AH;
Висота AH опущена з вершини B на сторону AC, тобто з умови відома одна координата точки A (5; -2) і напрям - пряма перпендикулярна прямий BC.
Скористаємося властивістю кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих: k_1 = - \frac{1}{k_2} .
Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої сторони BC з рівняння (2).
Отримали k_{BC} = - \frac{7}{6} => k_{AH} = - \frac{1}{AC} = \frac{6}{7} . Знайдемо рівняння прямої BD, для цього скористаємося рівнянням прямої що проходить через задану точку A (5; -2) в заданому напрямку k_{AH} = \frac{6}{7} y - y_0 = k (x - x_0) \quad (3) отримаємо y + 2 = \frac{6}{7} (x - 5) => y = \frac{6}{7} x- \frac{44}{ 7}
Відповідь: рівняння висоти AH y = \frac{6}{7}x- \frac{44}{7}
3) рівняння медіани BM
Для знаходження медіани BM є координата однієї точки В(8; 4), а координати другої точки прямий M знайдемо як координати середини відрізка AC , де A(5; -2), С(2; 11) за формулою M(\frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2}) => M(\frac{5 + 2}{2}; \frac{-2+ 11}{2}) => M(3.5; 4.5)
Знаходимо рівняння прямої BM за формулою рівняння прямої, що проходить через дві задані точки В(8; 4) і M(3.5; 4.5) рівняння (1) \frac{x- 8}{\frac{7}{2} -8} = \frac{y-4}{\frac{9}{2} -4} => y = - \frac{1}{9} x + \frac{44}{9}
Відповідь: рівняння медіани BM y = -\frac{1}{9}x + \frac{44}{9}
4) координати точки D перетину медіани BM і висоти AH
Знайдемо координати точки перетину медіани BM і висоти AH, для цього складаємо систему рівнянь у складі двох рівнянь прямих, вирішуємо його і знаходимо координати точки перетину прямих
\begin{cases} y = -\frac{1}{9}x + \frac{44}{9} \\ y = \frac{6}{7}x- \frac{44}{7} \end{cases} = > \begin{cases} x \approx 11.5 \\ y \approx 3.6 \end{cases}
Відповідь: координати точки D(11.5;3.6)
5) рівняння прямої, яка проходить через вершину A паралельно стороні BC
Пряма проходить точку A (5; -2) при відомому напрямку - пряма паралельна прямій BC y = - \frac{7}{6} x + \frac{40}{3} .
Скористаємося властивістю кутових коефіцієнтів паралельних прямих: k_1 = k_2 .
Знайдемо кутовий коефіцієнт k_1 при k_1 = k_2 = k_{BC} = - \frac{7}{6} .
Знайдемо рівняння прямої BC, для цього скористаємося рівнянням прямої проходить через задану точку в заданому напрямку (3), отримаємо y + 2 = - \frac{7}{6} (x - 5) => y = - \frac{1}{4} x - \frac{9}{2}
Відповідь: рівняння прямої, що проходить через точку A і паралельна прямій боку BC y = - \frac{7}{6} x + \frac{23}{6}
6) відстань від точки A до прямої BC.
Відстань від точки A до прямої BC будемо шукати як відстань від точки A до прямої BC за формулою d = \frac{| Ax_0 + By_0 + C |}{\sqrt{A ^ 2 + B ^ 2}} \quad(4) де (x_0; y_0) - координати точки A(5; -2), а
Ax_0 + By_0 + C = 0 - загальне рівняння прямої, відстань до якої шукається
y = - \frac{7}{6} x + \frac{40}{3} => 7x + 6y - 80 = 0 => A = 7; \quad B = 6 Підставляємо дані у формулу d_{AH} = \frac{| 7 * 5 - 6 * 2 - 80 |}{\sqrt{7 ^ 2 + 6 ^ 2}} \approx 6.2
Відповідь: відстань від точки A до прямої BC d_{AH} \approx 6.2
