Решение: вычислим приближенно определенный интеграл \( \int_0^{0.5}x^2 arctg(\frac{x}{5})dx \), используя разложение подынтегральной функции в степенные ряды.
Представим подынтегральную функцию в виде произведения двух функций \(f(x) = x^2\) и \( g(x) = arctg(\frac{x}{5}) \).
Разложим функцию \( g(x) = arctg(\frac{x}{5}) \) в степенной ряд Маклорена $$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ..... \quad (1)$$ Найдем значении функции и значения ее производных в точке \(x=0\)
\(f(0) = arctg(\frac{0}{5}) = 0\)
\(f'(0) = \frac{5}{x^2+25} = \frac{1}{5}\)
\(f''(0) = -\frac{10x}{(x^2+25)^2} = 0\)
\(f'''(0) = \frac{10(3x^2-25)}{(x^2+25)^3} = -\frac{2}{125}\)
Подставляем в (1), получаем разложение функции \(g(x) = arctg(\frac{x}{5})\) в ряд Маклорена $$ arctg(\frac{x}{5}) = 0 + \frac{1}{5}*x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-\frac{2}{125}}{3!}x^3 + Q(x^5) => $$$$ arctg(\frac{x}{5}) = \frac{1}{5}*x - \frac{1}{375}x^3 + Q(x^5) $$ Получаем подынтегральное выражение $$ x^2 arctg(\frac{x}{5}) = \frac{1}{5}*x^3 - \frac{1}{375}x^5 + Q(x^7)$$ Интегрируем обе части равенства в заданных границах $$ \int_0^{0.5}x^2 arctg(\frac{x}{5})dx = \int_0^{0.5}( \frac{1}{5}*x^3 - \frac{1}{375}x^5 + Q(x^7))dx = $$$$ = \frac{1}{20}*x^4 - \frac{1}{2250}x^6 + Q(x^8)|_0^{0.5} \approx \frac{1}{20}*0.5^4 - \frac{1}{2250}*0.5^6 $$
Получили знакопеременный ряд. Для того, чтобы проводить дальнейшие расчеты необходимо определить количество членов ряда для суммирования с учетом того, что погрешность \(\sigma = 0.001\)
Найдем значения каждого члена ряда
\( \frac{1}{20}*0.5^4 = 0.003125 > 0.001\)
\( \frac{1}{2250}*0.5^6 \approx 0.00000694 \)
Дальнейшие расчеты проводить не будим, точность расчетов достаточна $$ \int_0^{0.5}x^2 arctg(\frac{x}{5})dx \approx 0.003125 - 0.00000694 \approx 0.00311806 $$
Ответ: \( \int_0^{0.5}x^2 arctg(\frac{x}{5})dx \approx 0.00311806 \)
