Дана система трьох лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими Дані:

Вирішимо систему рівнянь $$ \begin{cases} -3x_1-2x_2-5x_3 = 5 \\2x_1 + 3x_2-4x_3 = 12 \\ x_1-2x_2 + 3x_3 = -1 \end{cases} $$
Методом Гауса

1.Перевіримо систему рівнянь на спільність. Система рівнянь називається спільної , якщо вона має хоча б одне рішення.
Складемо розширену матрицю системи, приписавши до матриці з коефіцієнтів системи \(A = \left (\begin{array}{c} -3 & -2 & -5 \\2 & 3 & -4 \\1 & -2 & 3 \end{array} \right) \) праворуч стовпець вільних членів, отримуємо: \((A | b) = \left (\begin{array}{c} -3 & -2 & -5 \\2 & 3 & -4 \\1 & -2 & 3 \end{array} \left | \begin{array}{ c} 5 \\12 \\-1 \end{array} \right. \right) \)

Згідно теореми Кронекера-Капеллі система \(Ax = b \) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеній матриці системи \(rg (A | b) = rgA \)
Знайдемо ранг матриці:
2. Використовуючи елементарні перетворення над рядками матриці \((A | b) \), наведемо її до ступінчастого увазі,
для цього використовуємо метод Гауса.
Прямий хід методу Гауса.
Нам необхідно вибрати провідний елемент в першому стовпці. Для простоти рішення потрібно щоб він був дорівнює 1.
\((A | b) = \left (\begin{array}{c} -3 & -2 & -5 \\2 & 3 & -4 \\1 & -2 & 3 \end{array} \left | \begin{array}{c} 5 \\12 \\-1 \end{array} \right. \right) \sim \)
Поміняємо 1 і 3 рядки місцями. Беремо ведучим елемента \(a_{11} = 1 \ne 0 \). Цей елемент вже дорівнює 1.
\(\left (\begin{array}{c} 1 & -2 & 3 \\2 & 3 & -4 \\ -3 & -2 & -5 \end{array} \left | \begin{array}{c} -1 \\12 \\5 \end{array} \right. \right) \sim \)
З другого рядка перший, помножену на 2
\(\left (\begin{array}{c} 1 & -2 & 3 \\0 & 7 & -10 \\ -3 & -2 & -5 \end{array} \left | \begin{array}{c} -1 \\14 \\5 \end{array} \right. \right) \sim \)
Аналогічно до третьої рядку додамо перший, помножену на 3, отримаємо:
\(\left (\begin{array}{c} 1 & -2 & 3 \\0 & 7 & -10 \\ 0 & -8 & 4 \end{array} \left | \begin{array}{c} -1 \\14 \\2 \end{array} \right. \right) \sim \)
Для простоти рішення з рядків 2 і 3 нам потрібно вибрати рядок з елементом у другому стовпці рівним 1 . Отримаємо його. Складемо другу і третю рядка.
\(\left (\begin{array}{c} 1 & -2 & 3 \\0 & 7 & -10 \\ 0 & -1 & -6 \end{array} \left | \begin{array}{c} -1 \\14 \\16 \end{array} \right. \right) \sim \)
Помножимо третій рядок на -1
\(\left (\begin{array}{c} 1 & -2 & 3 \\0 & 7 & -10 \\ 0 & 1 & 6 \end{array} \left | \begin{array}{c} -1 \\14 \\-16 \end{array} \right. \right ) \sim \)
поміняв місцями 2 і 3 рядки
\(\left (\begin{array}{c} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 7 & -10 \end{array} \left | \begin{array}{c} -1 \\ -16 \\14 \end{array} \right. \right) \sim \)

Беремо ведучим елемента \(a_{22} = 1 \ne 0 \).

З третього рядка віднімаємо другий рядок, помноживши її на 7, отримаємо:
\(\left (\begin{array}{c} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -52 \end{array} \left | \begin{array}{c} -1 \\ -16  \\126 \end{array} \right. \right) \sim \)
Розділимо третій рядок на -52
\(\left (\begin{array}{c} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \left | \begin{array}{c} -1 \\ -16 \\- \frac{63}{26} \end{array} \right. \right) \sim \)

3. Визначимо ранг матриці
\(rgA = rg (A | b) = 3 \) Згідно теореми Кронекера-Капеллі система сумісна. Так як система сумісна, продовжуємо її вирішувати методом Гауса, наводимо отриману матрицю \((\widetilde{A} | \widetilde{b}) \) до спрощеного увазі:

4. Зворотний хід методу Гауса.
Беремо ведучим елемента \(a_{22} = 1 \ne 0 \).
Складовими першу і другу, яку множимо на 2, отримуємо
\(\left (\begin{array}{c} 1 & 0 & 15 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \left | \begin{array}{c} -33 \\ -16 \\- \frac{63}{26} \end{array} \right. \right) \sim \)
Віднімаємо з першого рядка третю, помножену на 15
\(\left (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \left | \begin{array}{c} \frac{87}{26} \\ - \frac{19}{13} \\- \frac{63}{26} \end{array} \right. \right) \)

Привели матрицю до спрощеного виду.

Відповідь : Рішенням системи рівнянь єдине і одно \(\begin{cases} x_1 = \frac{87}{26} \\x_2 = - \frac{19}{13} \\x_3 = - \frac{63}{26} \end{cases} \)

Вирішимо систему рівнянь $$ \begin{cases} -3x_1-2x_2-5x_3 = 5 \\2x_1 + 3x_2-4x_3 = 12 \\x_1-2x_2 + 3x_3 = -1 \end{cases} $$
Застосуємо правило Крамера.
1.Скласти матрицю системи з коефіцієнтів при невідомих \(x_1; x_2; x_3 \). При цьому, якщо якогось із невідомих у рівнянні не вистачає, то на його місце у відповідному стовпчику ставимо 0. Отримали $$ A = \left (\begin{array}{c} -3 & -2 & -5 \\2 & 3 & -4 \\1 & -2 & 3 \end{array} \right) $$ Знайдемо визначник матриця \(A \), позначається як \(\Delta \). Якщо визначник \(\Delta = det A \ne 0 \), то система має єдине рішення, яке знаходиться за формулою $$ x_1 = \frac{\Delta x_1}{\Delta}; \quad x_2 = \frac{\Delta x_2}{\Delta}; \quad x_3 = \frac{\Delta x_3}{\Delta} $$ де \(\Delta x_1; \Delta x_2; \Delta x_3 \) - визначник матриці, отриманий з матриці системи шляхом заміни стовпця \(x_1; x_2; x_3 \) стовпцем вільних членів.

Знаходимо визначник матриці за правилом трикутника $$ \Delta = \det A = \left | \begin{array}{c} -3 & -2 & -5 \\2 & 3 & -4 \\1 & -2&   3 \end{array} \right | = $$ Спростимо визначник, віднімемо з рядка 1 рядок 2 $$ = \left | \begin{array}{c} -4 & 0 & -8 \\2 & 3 & -4 \\1 & -2 & 3 \end{array} \right | = -4 \left | \begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\2 & 3 & -4 \\1 & -2 & 3 \end{array} \right | = $$ розкладемо визначник за елементами першого рядка $$ = -4 ((- 1) ^{1 + 1} * \left | \begin{array}{c} 3 & -4 \\-2 & 3 \end{array} \right | + 2 * (- 1) ^{1 + 3} \left | \begin{array}{c} 2 &  3 \\1 & -2 \end{array} \right | = $$$$ = -4 ( 9-8 + 2 (-4-3)) = 13 * 4 = 52 $$
Визначник \(\Delta = 52 \ne 0 \), тобто система має єдине рішення.

Знайдемо рішення системи рівнянь:
2. Підставимо замість першого стовпчика в визначник \(\Delta \) стовпець вільних членів і розділимо на визначник матриці \(\Delta = 52 \), одержуємо $$ x_1 = \frac{1}{52} * \left | \begin{array}{c} 5 & -2 & -5 \\12 & 3 & -4 \\-1 & -2 & 3 \end{array} \right | =>  $$ Визначник знаходимо за правилом трикутника, отримуємо $$ \scriptsize x_1 = \frac{1}{52} \mbox{(5 * 3 * 3 + (- 2) * (- 4) * (- 1) + 12 * (- 5) * (- 2) - (-1) * 3 * (- 5) - (-2) * (- 4) * 5-12 * 3 * (- 2)) = >} $$$$ x_1 = \frac{174}{52} = \frac{87}{26} $$

3. Підставимо замість другого шпальти в визначник \(\Delta \) стовпець вільних членів і розділимо на визначник матриці \(\Delta = 52 \), одержуємо $$ x_2 = \frac{1}{52} * \left | \begin{array}{c} -3 & 5  &​​ -5 \\2 & 12 & -4 \\1 & -1 &  3 \end{array} \right | =>  $$ Визначник знаходимо за правилом трикутника, отримуємо $$ \scriptsize x_2 = \frac{1}{52} \mbox{(- 3 * 12 * 3 + 5 * (- 4) * 1 + 2 * (-5) * (- 1) - 1 * 12 * (- 5) - (-3) * (- 4) * (- 1) -2 * 3 * 5) =>} $$$$ x_2 = - \frac{76}{52} = - \frac{19}{13} $$

4. Підставимо замість третього стовпця в визначник \(\Delta \) стовпець вільних членів і розділимо на визначник матриці \(\Delta = 52 \), одержуємо $$ x_3 = \frac{1}{52} * \left | \begin{array}{c} -3 & -2 &  5 \\2 &  3 & 12 \\1 & -2 &  -1 \end{array} \right | => $$ Визначник знаходимо за правилом трикутника, отримуємо $$ \scriptsize x_3 = \frac{1}{52} \mbox{(- 3 * 3 * (- 1) -2 * 12 * 1 + 2 * (-2) * 5 - 1 * 3 * 5- (-2) * 12 * (- 3) - (- 2) * 2 * (- 1)) =>} $$$$ x_3 =  \frac{-126}{52} = - \frac{63}{26} $$ Отримали три рішення системи рівнянь

Відповідь: \(\begin{cases} x_1 = \frac{87}{26} \\x_2 = - \frac{19}{13} \\x_3 = - \frac{63}{26} \end{cases} \)