Вирішимо систему рівнянь $$ \begin{cases} -3x_1-2x_2-5x_3 = 5 \\2x_1 + 3x_2-4x_3 = 12 \\ x_1-2x_2 + 3x_3 = -1 \end{cases} $$
Методом Гауса
1.Перевіримо систему рівнянь на спільність. Система рівнянь називається спільної , якщо вона має хоча б одне рішення.
Складемо розширену матрицю системи, приписавши до матриці з коефіцієнтів системи \(A = \left (\begin{array}{c} -3 & -2 & -5 \\2 & 3 & -4 \\1 & -2 & 3 \end{array} \right) \) праворуч стовпець вільних членів, отримуємо: \((A | b) = \left (\begin{array}{c} -3 & -2 & -5 \\2 & 3 & -4 \\1 & -2 & 3 \end{array} \left | \begin{array}{ c} 5 \\12 \\-1 \end{array} \right. \right) \)
Згідно теореми Кронекера-Капеллі система \(Ax = b \) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеній матриці системи \(rg (A | b) = rgA \)
Знайдемо ранг матриці:
2. Використовуючи елементарні перетворення над рядками матриці \((A | b) \), наведемо її до ступінчастого увазі,
для цього використовуємо метод Гауса.
Прямий хід методу Гауса.
Нам необхідно вибрати провідний елемент в першому стовпці. Для простоти рішення потрібно щоб він був дорівнює 1.
\((A | b) = \left (\begin{array}{c} -3 & -2 & -5 \\2 & 3 & -4 \\1 & -2 & 3 \end{array} \left | \begin{array}{c} 5 \\12 \\-1 \end{array} \right. \right) \sim \)
Поміняємо 1 і 3 рядки місцями. Беремо ведучим елемента \(a_{11} = 1 \ne 0 \). Цей елемент вже дорівнює 1.
\(\left (\begin{array}{c} 1 & -2 & 3 \\2 & 3 & -4 \\ -3 & -2 & -5 \end{array} \left | \begin{array}{c} -1 \\12 \\5 \end{array} \right. \right) \sim \)
З другого рядка перший, помножену на 2
\(\left (\begin{array}{c} 1 & -2 & 3 \\0 & 7 & -10 \\ -3 & -2 & -5 \end{array} \left | \begin{array}{c} -1 \\14 \\5 \end{array} \right. \right) \sim \)
Аналогічно до третьої рядку додамо перший, помножену на 3, отримаємо:
\(\left (\begin{array}{c} 1 & -2 & 3 \\0 & 7 & -10 \\ 0 & -8 & 4 \end{array} \left | \begin{array}{c} -1 \\14 \\2 \end{array} \right. \right) \sim \)
Для простоти рішення з рядків 2 і 3 нам потрібно вибрати рядок з елементом у другому стовпці рівним 1 . Отримаємо його. Складемо другу і третю рядка.
\(\left (\begin{array}{c} 1 & -2 & 3 \\0 & 7 & -10 \\ 0 & -1 & -6 \end{array} \left | \begin{array}{c} -1 \\14 \\16 \end{array} \right. \right) \sim \)
Помножимо третій рядок на -1
\(\left (\begin{array}{c} 1 & -2 & 3 \\0 & 7 & -10 \\ 0 & 1 & 6 \end{array} \left | \begin{array}{c} -1 \\14 \\-16 \end{array} \right. \right ) \sim \)
поміняв місцями 2 і 3 рядки
\(\left (\begin{array}{c} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 7 & -10 \end{array} \left | \begin{array}{c} -1 \\ -16 \\14 \end{array} \right. \right) \sim \)
Беремо ведучим елемента \(a_{22} = 1 \ne 0 \).
З третього рядка віднімаємо другий рядок, помноживши її на 7, отримаємо:
\(\left (\begin{array}{c} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -52 \end{array} \left | \begin{array}{c} -1 \\ -16 \\126 \end{array} \right. \right) \sim \)
Розділимо третій рядок на -52
\(\left (\begin{array}{c} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \left | \begin{array}{c} -1 \\ -16 \\- \frac{63}{26} \end{array} \right. \right) \sim \)
3. Визначимо ранг матриці
\(rgA = rg (A | b) = 3 \) Згідно теореми Кронекера-Капеллі система сумісна. Так як система сумісна, продовжуємо її вирішувати методом Гауса, наводимо отриману матрицю \((\widetilde{A} | \widetilde{b}) \) до спрощеного увазі:
4. Зворотний хід методу Гауса.
Беремо ведучим елемента \(a_{22} = 1 \ne 0 \).
Складовими першу і другу, яку множимо на 2, отримуємо
\(\left (\begin{array}{c} 1 & 0 & 15 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \left | \begin{array}{c} -33 \\ -16 \\- \frac{63}{26} \end{array} \right. \right) \sim \)
Віднімаємо з першого рядка третю, помножену на 15
\(\left (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \left | \begin{array}{c} \frac{87}{26} \\ - \frac{19}{13} \\- \frac{63}{26} \end{array} \right. \right) \)
Привели матрицю до спрощеного виду.
Відповідь : Рішенням системи рівнянь єдине і одно \(\begin{cases} x_1 = \frac{87}{26} \\x_2 = - \frac{19}{13} \\x_3 = - \frac{63}{26} \end{cases} \)