Знайдемо похідну параметрично заданої функції \(\begin{cases} x = t^5 + 2t \\ y = 5^t \end{cases} \)
1 . Застосуємо формулу похідною параметрично заданої функції \(y (x) '= \frac{y' (t)}{x '(t)} \)
$$ y' (x) = \frac{( 5^t) '}{( t^5 + 2t)'} = \quad (1) $$
Знаходимо окремо похідні чисельника і знаменника
2. Похідна чисельника:
\((5^t) '\) застосовуємо формулу показовою функції \((a^x)' = a^x \ln (a) \), отримуємо $$ (5^t) '= 5^t \ln (5) $$
3. Похідна знаменника:
\((t^5 + 2t) '\) застосовуємо формулу похідною статечної функції \((x^a)' = ax^{a-1} \) $$ (t^5 + 2t) '= 5t^4 +2 $$
4. Підставляємо результати пунктів (2) і (3) в (1)
$$ y '(x) = \frac{(5^t)'}{(t^5 + 2t) '} = \frac{5^t \ln (5)}{5t^4 +2} $$
Відповідь : \(y'_x = \frac{5^t \ln (5)}{5t^4 +2} \)
