Знайти похідну $\frac{dy}{dx}$ заданої функції. $y=(\sin(7x+4))^{arcctgx}$

Знайдемо похідну функції : $y =(\sin(7x + 4))^{arcctg(x)}$

Рішення : знайдемо похідну складної функції методом логарифмування, тобто скористаємося формулою основної логарифмічної тотожності $a^{\log_ax} = x$, одержуємо

$$y =(\sin(7x + 4))^{arcctg(x)} = e^{ \ln(\sin(7x + 4))^{arcctg(x)})} = e^{arcctg(x) \ln(\sin(7x + 4))}$$ Тепер скористаємося формулою похідною показовою функції $(a^x) '= a^x * \ln(a)$ і похідною складної функції $(f(g(x)))' = f '(g(x)) * g'(x)$, одержуємо $$y '=((\sin(7x + 4))^{arcctg(x)})' =(e^{arcctg(x) \ln(\sin(7x + 4))}) '=$$ $$= e^{e^{arcctg(x) \ln(\sin(7x + 4))}} *(arcctg(x) \ln(\sin(7x + 4))) '=$$ $$=(\sin(7x + 4))^{arcctg(x)} *(arcctg(x) \ln(\sin(7x + 4) )) '= \quad(1)$$ Для знаходження похідної, скористаємося формулою похідною твори $f(x) g(x) = f'(x) g(x) + f(x ) g '(x)$ $$(arcctg(x) \ln(\sin(7x + 4)))' =$$ $$=(arcctg(x)) '\ln(\sin(7x + 4 )) + arcctg(x)(\ln(\sin(7x + 4))) '=$$ застосуємо формулу похідною арккотангенса $arcctg(x) = - \frac{1}{1 + x^2}$ і похідну логарифма $(\ln(x)) '= \frac{1}{x}$ $$= - \frac{1}{1 + x^2} \ln(\sin(7x + 4)) + arcctg(x) \frac{1}{\sin(7x + 4)}(\sin(7x + 4)) '=$$ $$= - \frac{1}{1 + x^2} \ln(\sin(7x + 4)) + arcctg(x) \frac{1}{\sin(7x + 4)} \cos(7x + 4)(7x + 4) '=$$ $$= - \frac{1}{1 + x^2} \ln(\sin(7x + 4)) + 7 arcctg(x) ctg(7x + 4)$$ Підставляємо в(1), отримуємо $$(1) =(\sin(7x + 4))^{arcctg(x)} *(arcctg(x) \ln(\sin(7x + 4))) '=$$ $$= \sin(7x + 4))^{arcctg(x)} *(7 arcctg(x) ctg(7x + 4) - \frac{1}{1 + x^2} \ln( \sin(7x + 4)))$$

Відповідь : $((\sin(7x + 4))^{arcctg(x)}) '= \sin(7x + 4))^{arcctg(x)} *(7 arcctg(x) ctg(7x + 4) - \frac{1}{1 + x^2} \ln(\sin(7x + 4)))$