Знайдемо похідну функції : \(y =(\sin(7x + 4))^{arcctg(x)} \)
Рішення : знайдемо похідну складної функції методом логарифмування, тобто скористаємося формулою основної логарифмічної тотожності \(a^{\log_ax} = x \), одержуємо $$ y =(\sin(7x + 4))^{arcctg(x)} = e^{ \ln(\sin(7x + 4))^{arcctg(x)})} = e^{arcctg(x) \ln(\sin(7x + 4))} $$ Тепер скористаємося формулою похідною показовою функції \((a^x) '= a^x * \ln(a) \) і похідною складної функції \((f(g(x)))' = f '(g(x)) * g'(x) \), одержуємо $$ y '=((\sin(7x + 4))^{arcctg(x)})' =(e^{arcctg(x) \ln(\sin(7x + 4))}) '= $$$$ = e^{e^{arcctg(x) \ln(\sin(7x + 4))}} *(arcctg(x) \ln(\sin(7x + 4))) '= $$$$ =(\sin(7x + 4))^{arcctg(x)} *(arcctg(x) \ln(\sin(7x + 4) )) '= \quad(1) $$ Для знаходження похідної, скористаємося формулою похідною твори \(f(x) g(x) = f'(x) g(x) + f(x ) g '(x) \) $$(arcctg(x) \ln(\sin(7x + 4)))' = $$$$ =(arcctg(x)) '\ln(\sin(7x + 4 )) + arcctg(x)(\ln(\sin(7x + 4))) '= $$ застосуємо формулу похідною арккотангенса \(arcctg(x) = - \frac{1}{1 + x^2} \) і похідну логарифма \((\ln(x)) '= \frac{1}{x} \) $$ = - \frac{1}{1 + x^2} \ln(\sin(7x + 4)) + arcctg(x) \frac{1}{\sin(7x + 4)}(\sin(7x + 4)) '= $$$$ = - \frac{1}{1 + x^2} \ln(\sin(7x + 4)) + arcctg(x) \frac{1}{\sin(7x + 4)} \cos(7x + 4)(7x + 4) '= $$$$ = - \frac{1}{1 + x^2} \ln(\sin(7x + 4)) + 7 arcctg(x) ctg(7x + 4) $$ Підставляємо в(1), отримуємо $$(1) =(\sin(7x + 4))^{arcctg(x)} *(arcctg(x) \ln(\sin(7x + 4))) '= $$$$ = \sin(7x + 4))^{arcctg(x)} *(7 arcctg(x) ctg(7x + 4) - \frac{1}{1 + x^2} \ln( \sin(7x + 4))) $$
Відповідь : \(((\sin(7x + 4))^{arcctg(x)}) '= \sin(7x + 4))^{arcctg(x)} *(7 arcctg(x) ctg(7x + 4) - \frac{1}{1 + x^2} \ln(\sin(7x + 4))) \)
