Исследуем функцию \( y = \frac{2x^2}{x^2-1} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. \( x^2 - 1 \ne 0 => x \ne \pm 1\).
Область определения $$D_f= (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет две точки разрыва x = -1; x=1.
исследуем точку x= -1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to -1+0} \frac{2x^2}{x^2-1} = -\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to -1-0} \frac{2x^2}{x^2-1} = +\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x = -1\) является вертикальной асимптотой.
исследуем точку x= 1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 1+0} \frac{2x^2}{x^2-1} = +\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to -1-0} \frac{2x^2}{x^2-1} = -\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x = 1\) является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{2(-x)^2}{(-x)^2-1} = f(x) \) функция является четной, т.е. симметричной относительно оси Oy, поэтому далее будем исследовать график функции на интервале \((0; +\infty)\), а график на интервале \((-\infty;0)\) получим путем симметричного переноса относительно оси Oy.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( \frac{2x^2}{x^2-1}= 0 => x=0\). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox с координатами \((0;0)\).
Интервалы знакопостоянства функции. На рассматриваемых интервале \( (0;+\infty)\) кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox - начало интервала , поэтому будем рассматривать на интервалах с учетом области определения.
Определим знак функции:
интервал \( (0; 1) \) найдем значение функции в любой точке \( f( 0.5) = \frac{2x^2}{x^2-1} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \( (1;+\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(3) = \frac{2x^2}{x^2-1} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
5. Точки пересечения с осью Oy: приравняем \(x=0 \), получаем \( f( 0) = \frac{2x^2}{x^2-1} =0\). Координаты точки пересечения с осью Oy \( (0; 0)\)
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$ y' = ( \frac{2x^2}{x^2-1})' = \frac{4x(x^2-1) - 2x*2x^2}{(x^2-1)^2} = \frac{-4x}{(x^2-1)^2}$$ приравняем к 0 $$ \frac{-4x}{(x^2-1)^2} = 0 => x =0$$ Получили одну критическую точку с координатами \((0;0)\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку (точек возможного экстремума), поэтому монотонность будем рассматривать на двух[ интервалах:
интервал \( (0; 1) \) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0.5) = -\frac{4x}{(x^2-1)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((1; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(2) = -\frac{4x}{(x^2-1)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
Для нахождения экстремума найдем монотонность на интервале (хотя эту монотонность можно найти и пользуясь симметрией)
интервал \((-1; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-0.5) =-\frac{4x}{(x^2-1)^2} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
При исследовании функции получили на интервале области определения одну критическую (стационарную) точку. Определим, является ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку:
точка \(x= 0\) производная меняет знак с \( \quad + \quad 0 \quad - \quad\) - точка максимума, а координаты точки минимума (0;0).
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( -4\frac{x}{(x^2-1)^2})'= $$$$ = -4\frac{(x^2-1)^2 - x*2(x^2-1)*2x}{(x^2-1)^4} = \frac{3x^2+1}{(x^2-1)^3} $$Приравняем к нулю $$ \frac{3x^2+1}{(x^2-1)^3} = 0 => $$ Функция не имеет точек перегиба. На интервалах области определения функция не меняет выпуклости. Определим выпуклость на рассматриваемом интервале
интервал \((0; 1)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0.5) = \frac{3x^2+1}{(x^2-1)^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((1; \infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(2) = \frac{3x^2+1}{(x^2-1)^3} > 0 \), на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция не имеет точек перегиба.
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет две вертикальные асимптоту \(x =-1\) и \(x =1\)(см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= \frac{2x^2}{x^2-1} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ находим первый предел $$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x(x^2-1)} = 0 => k= 0 $$ т.к. k=0 наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота:
для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to \infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty}( \frac{2x^2}{x^2-1})= 2$$
Горизонтальной асимптота \(y = 2\)
Определим, с какой стороны график приближается к асимптоте $$ \lim_{x \to -\infty}(2 -\frac{2x^2}{x^2-1}) = -2\lim_{x \to -\infty}\frac{1}{x^2-1} = -0 $$ График функции приближается к асимптоте сверху при \(x \to -\infty\)
Определим, с какой стороны график приближается к асимптоте $$ \lim_{x \to +\infty}(2 -\frac{2x^2}{x^2-1}) = -2\lim_{x \to -\infty}\frac{1}{x^2-1} = -0 $$ График функции приближается к асимптоте сверху при \(x \to +\infty\)
9. График функции.
При построении графика учтем его четность, т.е. симметричность относительно оси \(Oy\)
