Processing math: 5%
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Прямые 3x-4y+16=0 и 4x-y-11=0 служат сторонами


0 Голосов
Зарап Амир Ка�
Posted Ноябрь 29, 2015 by Зарап Амир Кайман
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 1752

Прямые  3x-4y+16=0 и 4x-y-11=0 служат сторонами параллелограмма, а точка O(2;7) - точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнение двух других сторон параллелограмма. Сделать чертеж.

Все ответы


2 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Ноябрь 29, 2015 by Вячеслав Моргун

Решение: Параллелограмм - это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).
В задании дано два уравнения прямых,  определим являются ли они параллельными или нет:


Воспользуется свойством угловых коэффициентов параллельных прямых k_1=k_2.
Найдем угловые коэффициенты прямых 
3x-4y+16=0 => y = \frac{3}{4}x +4 => k_1 = \frac{3}{4} 
4x-y-11=0 => y = 4x-11 => k_2 = 4
получили k_1 \ne k_2, т.е. прямые не являются параллельными.


Алгоритм дальнейшего решения:
1. Найдем точку пересечения прямых (сторон параллелограмма), координаты вершины A.
Решим систему уравнений  \begin{cases}3x-4y+16=0 \\4x-y-11=0\end{cases} =>  \begin{cases}-13x+60=0 \\4x-y-11=0\end{cases} =>  \begin{cases} x = \frac{60}{13} \\ y = \frac{97}{13} \end{cases}   Подучили координаты точки A(\frac{60}{13}; \frac{97}{13}) => A(4.62; 7.46)


2. Найдем координаты вершины C(x_C;y_C), которая лежит на одной диагонали с вершиной A.
Нам известны одна из вершин параллелепипеда и точка пересечения диагоналей. Как известно, в точке пересечения диагонали делятся пополам, поэтому найдем координаты точки C (вторая вершина на этой диагонали). Координаты середины отрезка AC - точки O находятся по формуле O(\frac{x_A+x_C}{2};\frac{y_A+y_C}{2}). Согласно условия задачи, координаты точки O(2;7), получаем
\frac{x_A+x_C}{2} = 2 => \frac{ \frac{60}{13}+x_C}{2} = 2 => x_C = - \frac{8}{13}
\frac{y_A+y_C}{2} = 7 => \frac{ \frac{97}{13}+x_C}{2} = 7 => y_C =  \frac{85}{13}
Координаты искомой точки C(- \frac{8}{13};\frac{85}{13}) => C(- 0.62;6.54) 


3. Найдем уравнения искомых прямых при известной координате одной точки и известных угловых коэффициентах.
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении y - y_0 = k(x-x_0) \quad (1)
Найдем уравнение прямой CD, параллельной прямой y = \frac{3}{4}x +4 => k_1 = \frac{3}{4} .
Подставляем координаты известной тоски C(- \frac{8}{13};\frac{85}{13})  и значение углового коэффициента в (1), получаем
 y -  \frac{85}{13} = \frac{3}{4}(x+\frac{8}{13}) => y = \frac{3}{4}x + 7


Найдем уравнение прямой BC, параллельной прямой  y = 4x-11 => k_2 = 4 .
Подставляем координаты известной тоски C(- \frac{8}{13};\frac{85}{13})  и значение углового коэффициента в (1), получаем 
 y -  \frac{85}{13} = 4(x+\frac{8}{13}) => y = 4x + 9 


рямые  3x-4y+16=0 и 4x-y-11=0 служат сторонами параллелограмма, а точка O(2;7) - точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнение двух других сторон параллелограмма.