Решение:
1. Найдем плотность распределения.
плотность распределения и функция распределения случайной величины связаны соотношением $$F'(x) = p(x)$$ найдем плотность распределения на каждом интервале:
\((-\infty;0)\) плотность равна \(p(x) = F'(x) = (0)' = 0\)
\([0;5]\) плотность равна \(p(x) = F'(x) = (\frac{1}{5}x)' = \frac{1}{5}\)
\((5;+\infty)\) плотность равна \(p(x) = F'(x) = (1)' = 0\)
Получили следующую функцию плотности распределения $$\begin{cases} 0, \text{ при } x < 0 \\ \frac{1}{5}, \text{ при } x \in [0;5] \\ 0, \text{ при } x > 5 \end{cases}$$
2. Найдем математическое ожидание.
Математическое ожидание случайной величины X будем искать по формуле $$M(X) = \int_a^bxp(x)dx$$ Получаем $$M(X) = \int_{-\infty}^0x*0dx+\int_0^{5}x\frac{1}{5}dx+\int_5^{\infty}x*0dx = \frac{x^2}{10}|_0^5 = 2.5 $$
3. Найдем дисперсию случайной величины.
Дисперсия случайной величины \(X\), все значения которой принадлежат отрезку \([a,b]\) определяется формулой $$D(X) = \int_a^b(x-M(x))^2p(x)dx = \int_a^bx^2p(x)dx - (M(X))^2$$ Получаем $$D(X) = \int_{-\infty}^{\infty}x^2p(x)dx - 2.5^2 = $$$$ = \int_{-\infty}^{0}x^2*0dx + \int_{0}^{5}x^2*\frac{1}{5}dx + \int_{5}^{\infty}x^2*0dx - 2.5^2 = $$$$ = \frac{x^3}{15}|_0^5 - 2.5^2 \approx 2.083$$
