Обозначим за событие \(A\) - два коня, поставленные на доску бьют друг друга (т.е. находятся в зоне хода буквой Г друг от друга).
Рассмотрим внимательно доску.
Представим, что один конь уже на доске. Те кто знакомы с игрой в шахматы обратят внимание на то, что:
Еесли первый конь стоит в углу доски, назовем эти клетки клетками первого типа (клетки № 1,4,13,16) - всего 4 клетки, то возможных положений второго коня, когда они бьют друг друга всего два Например, поставим первый конь в клетку (№ 1), тогда чтобы кони били друг друга второй конь должен быть в клетках (№ 7) или (№ 10) .
Если первый конь находится в клетках вдоль периметра - клетки второго типа (№ 2,3,8,12,5,9,14,15) - всего 8 клеток, то условию задачи удовлетворяют уже три положения второго коня. Например, для клетки № 2 - соответствуют положения второго коня - клетки № 9, 11, 8.
Если первый конь находится в одной из четырех центральных клеток - клетки третьего типа (№ 6,7,10,11) - всего 4 клетки, то второго коня можно уже разместить в четырех клетках. Например для клетки № 6 соответствуют клетки № 13,15,12,4.
Теперь можно записать полученные гипотезы.
\(H_1\) - первый конь попал в клетку первого типа, учитывая то , что на доске 16 клеток из которых 4 - клетки первого типа, то \(P(H_1) = \frac{4}{16}=\frac{1}{4}\)
\(H_2\) - первый конь попал в клетку второго типа, \(P(H_2) = \frac{8}{16}=\frac{1}{2}\)
\(H_3\) - первый конь попал в клетку третьего типа, \(P(H_3) = \frac{4}{16}=\frac{1}{4}\)
Найдем условные вероятности при этих гипотезах, т.е. первый конь уже стоит на клетке соответствующего типа, находим вероятность появления события \(A\) при размещении второго коня на оставшихся 15 клетках
$$P(A/H_1) = \frac{2}{15}$$$$P(A/H_2) = \frac{3}{15}$$$$P(A/H_3) = \frac{4}{15}$$Согласно формулы полной вероятности \(P(A) = \sum_{i=1}^{n}P(H_i)P(A/H_i)\). Подставим полученные нами данные в формулу $$P(A) = P(H_1)*P(A/H_1) + P(H_2)*P(A/H_2) + P(H_3)*P(A/H_3) => $$$$P(A) = \frac{1}{4}* \frac{2}{15} + \frac{1}{2}* \frac{3}{15} + \frac{1}{4}*\frac{4}{15} = \frac{1}{4*15}*(2+6+4)=\frac{12}{60}=0,2 $$Ответ: вероятность того, что при расположении двух коней на доске 4x4 они бьют друг друга равна \(P(A) = 0,2\)
