Случайная величина Х задана функцией плотности распределения $f(x) = \frac{1}{2}(\frac{x^3}{8}+1)$

Случайная величина Х задана функцией плотности распределения $f(x) = \frac{1}{2}( \frac{x^3}{8}+1)$ на интервале (-2;2).
Найти характеристики случайной величины Х: M(X), D(X), σ(X)

Решение:
1. Вычислим математическое ожидание М(Х)
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, все значения которой принадлежат отрезку $[a;b]$, а f(x) - плотность вероятностей, определяется формулой $$M(X) = \int_a^bxf(x)dx$$
найдем математическое ожидание: $$M(X) = \int_{-2}^{2}x\frac{1}{2}( \frac{x^3}{8}+1)dx =$$ $$=  \frac{1}{2}[ \frac{x^5}{40}+\frac{1}{2}x^2]|_{-2}^{2} = \frac{4}{5}$$

2. Находим дисперсию D(X)

Дисперсия непрерывной случайной величины X, все значения которой принадлежат отрезку  $[a;b]$, находится формулой $$D(X) = \int_a^b(x-a)^2f(x)dx$$ где 
f(x) - плотность распределения вероятностей случайной величины
a = M(X) - математическое ожидание

Находим дисперсию  $$D(X) = \int_{-2}^2(x-\frac{4}{5})^2\frac{1}{2}( \frac{x^3}{8}+1)dx =$$ $$= \frac{1}{2} \int_{-2}^2(x^2-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25})( \frac{x^3}{8}+1)dx =$$
$$= \int_{-2}^2( \frac{x^5}{16}-\frac{x^4}{10}+ \frac{x^3}{25}+ \frac{x^2}{2}- \frac{4x}{5} + \frac{8}{25})dx =$$
$$=  \frac{x^6}{96}-\frac{x^5}{50}+ \frac{x^4}{100}+ \frac{x^3}{6}- \frac{2}{5}x^2 +\frac{8}{25}x|_{-2}^2 =$$  
$$=  -2\frac{32}{50}+ 2\frac{8}{6} +2\frac{16}{25} = \frac{8}{3}$$  

3. Находим среднеквадратическое отклонение  σ(X):
Среднеквадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии: $$σ(X) = \sqrt{D(X)}$$  
$$σ(X) = \sqrt{\frac{8}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$$