Дано трикутник АВС А(2;15);В(3;-13);С(1,5;-14)
Знайти:
1) Довжину висоти AD
2) Рівняння бісектриси АЕ
3) Рівняння медіани BK
4) Площу трикутника ABC
5) Кут між бісектрисою і медіаною.
1) Довжина висоти AD.
Довжину висоти AD будемо шукати як відстань від точки до прямої.
Знайдемо рівняння прямої, відстань від якої до точки \(A \) будемо іскаті - рівняння прямої \(BC \)
Рівняння сторони BC трикутника.
Дано координати вершин трикутника В(3; -13); С(1,5; -14), тому рівняння сторони будемо шукати за допомогою формули рівняння прямої, що проходить через дві задані точки \( \frac{x-x_1}{x_2- x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1.1) \) Підставляємо координати вершин:
рівняння сторони BС, при відомих координатах вершини В(3; -13); С(1,5; -14) $$ BC \quad \frac{x-3}{1.5-3} = \frac{y + 13}{-14 + 13} => y = \frac{2}{3} x -15 $$
Відповідь: рівняння сторони \(BC \): \(y = \frac{2}{3} x -15 \)
Довжина висоти AD
Довжину висоти AD будемо шукати як відстань від точки A до прямої BC за формулою $$ d = \frac {| Ax_0 + By_0 + C |}{\sqrt{A^2 + B^2}} \quad (1.2) $$ де \((x_0; y_0) \) - координати точки А (2; 15), а \(Ax_0 + By_0 + C = 0 \) - загальне рівняння прямої, відстань до якої шукається \(y = \frac{2}{3} x -15 \).
Наводимо рівняння прямої \(BC \) до загального вигляду \(y = \frac{2} {3} x -15 => 2x-3y-45 = 0 \), де \(A = 2 \), \(B = -3 \), координати точки А (2; 15) => \(x_0 = 2; y_0 = 15 \) підставляємо у формулу (1.2) $$ d = \frac{| 2 * 2-3 * 15-45 |}{\sqrt{2^2 + (- 3)^2}} = \frac{86}{\sqrt{13}} \approx 23,85 $$
Відповідь: довжина висоти AD дорівнює \(d \approx 23,85 \)
