Исследуем функцию \(y =\frac{4x}{4+x^2}\) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. \(4+x^2\ne 0 => \).
Область определения $$D_f=(-\infty; +\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва т.к. область определения \(x \in R\).
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) =\frac{4(-x)}{4+(-x)^2}= -\frac{4x}{4+x^2}= -f(x)\) функция является нечетной, т.е. симметричной относительно точки начала координат O(0;0), поэтому далее будем исследовать график функции на интервале \((0; +\infty)\), а график на интервале \((-\infty;0)\) получим путем симметричного переноса относительноточки начала координат.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox):
приравняем \(y=0\), получим \( \frac{4x}{4+x^2}= 0 => x = 0 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox с координатами \((0;0)\)
Интервалы знакопостоянства функции.
На рассматриваемом интервале \((0; +\infty)\) кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это \(x = 0\) , т.е. один интервал знакопостоянства
Определим знак функции на этом интервале
интервал \(( 0; +\infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(2) =\frac{4x}{4+x^2} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
5. Точки пересечения с осью Oy:приравняем \(x=0\), получим \( y = \frac{4*0}{4+0^2}= 0 \) , т.е кривая пересекает ось Oy в точке с координатами \((0; 0)\)
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$ y' = (\frac{4x}{4+x^2})' = 4\frac{(4+x^2) - x*2x}{(4+x^2)^2}$$ приравняем к 0 $$ 4\frac{4-x^2}{(4+x^2)^2}= 0 => x_{1,2} = \pm 2$$ функция имеет две критические (стационарные) точки с координатами \((-2;-1)\),\((2;1)\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет две критические точки на интервале области определения \((-\infty; +\infty)\),т.е. две точки возможного экстремума функции. Эти точки делят область определения на три интервала монотонности. Определим монотонность функции на этих интервалах с учетом симмерии относительно начала координат, т.е. на интервале \((0;+\infty)\):
интервал \((0;2)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f'(1) = \frac{8-2x^2}{(4+x^2)^2}> 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \(( 2; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f'(3) =\frac{8-2x^2}{(4+x^2)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
При исследовании функции получили на исследуемом интервале\((0;+\infty)\) одну критическую (стационарную) точку. Определим, является ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку:
точка \(x= 2\) производная меняет знак с \( \quad + \quad 0 \quad - \quad\) - точка максимума, а координаты точки максимума (2;1).
7.Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (4\frac{4-x^2}{(4+x^2)^2})'= 4\frac{-2x(4+x^2)^2-(4-x^2)*2(4+x^2)*2x}{(4+x^2)^4}= $$$$ =-4\frac{2x(4+x^2)+(4-x^2)*4x}{(4+x^2)^3}= 8x\frac{x^2-12}{(4+x^2)^3}$$ Приравняем к нулю $$8x\frac{x^2-12}{(4+x^2)^3}= 0 =>8x(x^2-12)= 0 => x_1 = 0; \quad x_{2,3}= \pm 2\sqrt{3}$$ Функция имеет три точи перегиба, которые делят область определения на четыре интервала выпуклости, а рассмативаемый интервал\((0;+\infty)\) на два интервала выпуклости:
1) интервал \((0;2\sqrt{3})\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) =8x\frac{x^2-12}{(4+x^2)^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
2) интервал \((2\sqrt{3}; +\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(10) =8x\frac{x^2-12}{(4+x^2)^3} > 0 \), на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Т.к. функция является симметричной относительго начала координат и эта точка является точкой перегиба, кбедимся в этом в следующем пункте, а для этого найдем выпуклость на интегвале
интервал \((-2\sqrt{3};0)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-1) =8x\frac{x^2-12}{(4+x^2)^3}> 0 \), на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
В точке \(x =0\) вторая производная меняет знак с \( \quad + \quad 0 \quad - \quad\), график функции меняет выпуклость, т.е. это точка перегиба с координатами \((0;0)\).
В точке \(x =2\sqrt{3}\) вторая производная меняет знак с \( \quad - \quad 0 \quad + \quad\), график функции меняет выпуклость, т.е. это точка перегиба с координатами \((2\sqrt{3};\frac{ \sqrt{3}}{2})\).
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота.График функции не имеет вертикальных асимптот, т.к. область определения функции \(x \in R\).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у=\frac{4x}{4+x^2} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$ находим первый предел $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{4x}{(4+x^2)x} = 0 => k= 0 $$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ т.к. \(k = 0\) - наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота:
для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to \infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to \infty}\frac{4x}{4+x^2} = 0$$
Горизонтальной асимптота \(y = 0\)
Определим, с какой стороны график приближается к асимптоте
$$\lim_{x \to +\infty}( 0 -\frac{4x}{4+x^2}) = -0$$ График функции приближается к асимптоте сверху при \(x \to +\infty\)
$$\lim_{x \to -\infty}( 0 -\frac{4x}{4+x^2}) = +0$$ График функции приближается к асимптоте снизу при \(x \to -\infty\)
9. График функции.
При построении графика учтем его нечетность, т.е. симметричность относительно начала координат
