Для решения задачи воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов:
Сумма коэффициентов разложения \((a+b)^n\) (биномиальных коэффициентов) равна \(2^n\).
Согласно условия задачи эта сумма равна \(64 = 2^6\). Составим уравнение и получим $$2^n = 2^6 => n=6$$получили следующий многочлен $$(\frac{2}{3}x + \frac{3}{2*6*x^2})^6$$Найдем член разложения, не зависящий от x. В общем виде члены разложения представляются в следующем виде \(C_n^m a^mb^{n-m}\), т.е. нам необходимо найти \(m\). Подставим в это выражение данные задачи, получим \(C_6^m (\frac{2}{3}x)^m(\frac{3}{2*6*x^2})^{n-m}\). Нас интересуют только x поэтому оставим только их и найдем степени. Т.к. степени x одинаковые, то дробь равна 1 $$x^m(\frac{1}{*x^2})^{n-m} =1 =>x^m = (x^2)^{n-m} =>$$$$x^m = x^{2(n-m)} =>m = 2(n-m) => m = \frac{2}{3}n$$т.к. \(n =6 => m=4\).
Можно решить короче, зная что сумма степеней члена \(a\) и \(b\) равна \(n\). При этом известно , что у второго члена степень x равна 2 \(x^2\), при этом результирующие степени x двух членов равны, тогда получим \(m + \frac{1}{2}m = 6 =>\frac{3}{2}m = 6 =>m = 4\). Подставляем полученные данные в формулу и получим искомый член $$C_6^4 (\frac{2}{3}x)^4(\frac{3}{2*6*x^2})^{6-4} = $$проведем некоторые преобразования $$= \frac{6!}{4!(6-4)!}(\frac{2}{3})^4(\frac{3}{2*6})^{2} = \frac{5}{27}$$
