$$\left\{\begin{matrix}\log_9(x^2)+\log_3(x-y)=1\\\log_2(y)=\log_4(xy-2)\end{matrix}\right.$$
Для решения системы уравнений с логарифмами воспольтзуемся следующими свойствами лагорифмов
- Сумма и разность двух лагорифмов с одинаковым основанием:
- \(\log_a x + \log_a y =\log_a(x*y)\)
- \(\log_a x - \log_a y =\log_a(\frac{x}{y})\)
- Вынесение показателя степени из логарифма
- \(\log_a x^n = n · loga x\)
- \(\log_{a^k} x = \frac{1}{k} · log_a x\)
- \(\log_{a^k} x^n = \frac{n}{k} · log_a x\)
Продолжим решение системы уравнений $$\left\{\begin{matrix}\log_9(x^2)+\log_3(x-y)=1\\\log_2(y)=\log_4(xy-2)\end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix} \log_{3^2}(x^2)+ \log_3(x-y)=1\\ \log_2(y)= \log_{2^2}(xy-2)\end{matrix}\right. =>\\$$$$ \left\{\begin{matrix} \log_3 x+ \log_3(x-y)=1\\ \log_2(y)=\frac{1}{2} \log_2(xy-2)\end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix} \log_3 (x*(x-y))=1\\ \log_2(y)= \log_2(xy-2)^\frac{1}{2}\end{matrix}\right. =>$$$$\left\{\begin{matrix} x*(x-y)=3\\ y= (xy-2)^\frac{1}{2}\end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix} x^2-xy=3\\ y^2= xy-2\end{matrix}\right. =>$$$$\left\{\begin{matrix} y=\frac{x^2-3}{x}\\ (\frac{x^2-3}{x})^2= x\frac{x^2-3}{x}-2\\ x\ne0\end{matrix}\right. =>\left\{\begin{matrix} y=\frac{x^2-3}{x}\\ (x^2-3)^2= (x^2-5)*x^2\\ x\ne0\end{matrix}\right. =>$$$$\left\{\begin{matrix} y=\frac{x^2-3}{x}\\ x^4-6x^2+9= x^4-5x^2\\ x\ne0\end{matrix}\right. =>\left\{\begin{matrix} y=\frac{x^2-3}{x}\\ x^2= 9\\ x\ne0\end{matrix}\right. =>$$$$\left\{\begin{matrix} y=\frac{x^2-3}{x}\\ x_{1,2}=\pm 3\\ x\ne0\end{matrix}\right. =>\left\{\begin{matrix} y_{1,2}=\pm 2\\ x_{1,2}=\pm 3\\ x\ne0\end{matrix}\right.$$
Ответ: (3;2),(-3;-2).
