Задание: Вероятность того, что покупателю требуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что среди 100 покупателей потребуют обувь 41-ого размера 25 человек.
Решение: Если количество независимых испытаний достаточно большое применения формулы Бернулли становится трудоемким. Для упрощения вычислений применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа, которые дают близкий к формуле Бернулли результат при большом количестве испытаний и не требуют больших вычислений.
Локальная теорема Лапласа: Вероятность того, что в \(n\) независимых испытаниях с вероятностью появления события \(A\) равной \(0 < P < 1\) событие наступит ровно раз \(k\) (безразлично в какой последовательности) определяется по приближенной формуле $$P_n(k) = \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x)$$ где \(\phi(x)\) - функция Гаусса
\(x = \frac{x - np}{ \sqrt{npq}}\) - аргумент функции Гаусса
Теорему Лапласа рекомендуется применять при значениях произведения \(npq > 10; \), в противном случае погрешность вычисления будет высокая.
В нашем случае
\(n = 100\) - количество испытаний.
\(p = 0.2\) - вероятность того, что покупателю нужна обувь 41-го размера.
\(q = 1-0.2 =0.8\) - вероятность того, что покупателю нужна обувь размера, отличного от 41-го размера.
\(k = 25\) - число появления события, т.е. нужна обувь 41-го размера.
Проверяем \( npq = 100*0.2*0.8 = 16 > 10 \),
также учтем, что функция Гаусса - четная функция \(\phi(-x) = \phi(x)\)
Найдем аргумент функции Гаусса \(x = \frac{k - np}{ \sqrt{npq}} = \frac{25-100*0.2}{\sqrt{100*0.2*0.8}} = 1.25\)
Ищем по таблице Гаусса $$ \phi( 1.25) = 0.1826$$
Вероятность равна $$P_{100}(25) = \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{ 100*0.2*0.8}}*0.1826 \approx 0.04565$$
Ответ: вероятность того, что из 100 человек 25 потребуют обувь 41-го размера равна равна \( P_{100}(25) = 0.04565 = 4.565*10^{-2}\)
Для проверки результата применим формулу Бернулли $$P_n(k) = C_n^kp^kq^{n-k}$$
Подставляем данные задачи, получаем $$ P_{100}(25) = C_{100}^{25}0.2^{25}0.8^{100-25} = $$$$ = \frac{100!}{25!75!} 0.2^{25}0.8^{75} \approx 0.04388 $$
Формула Лапласа - формула приближенного вычисления, а Бернулли зависит от алгоритма в ПК, поэтому есть различия в ответе.
