Решение: введем обозначение, пусть
\(X\) - случайная величина число на вынутом наугад шаре.
\(y\) - количество шаров с цифрой 1.
\(x\) - количество шаров с цифрой 3, тогда согласно условия задачи
\(2x\) - количество шаров с цифрой 5.
При этом получаем, что \(y+x+2x=42 => y+3x=42\).
Получили уравнение с двумя неизвестными, найдем второе уравнение и составим систему уравнений из двух уравнений и решим ее.
Согласно условия известно, что математическое ожидание \(M(X) = \frac{61}{21}\)
Математическое ожидание дискретной величины \(X\), принимающей конечное множество значений с законом распределения $$ P(X=x_k) = p_k, k=1,2,...,n \quad \sum_{k=1}^np_k = 1$$ называется сумма произведений ее значений на их соответствующие вероятности: $$M(X) =x_1p_1+x_2p_2+ ... +x_np_n, \quad M(X) = \sum_{k=1}^nx_kp_k$$
найдем вероятности для каждого значения распределения - шаров с цифрами 1,3,5. воспользуемся формулой классического определения вероятностей:
цифра 1: \(P(X=1) = \frac{y}{42}\)
цифра 3: \(P(X=3) = \frac{x}{42}\)
цифра 5: \(P(X=5) = \frac{2x}{42}\)
Согласно определения $$ P(X=1) + P(X=3) + P(X=5) =1 => $$$$ \frac{y}{42} + \frac{x}{42} + \frac{2x}{42} = 1 => y + 3x = 42 \quad (1)$$ это уравнение мы уже получили раннее. Подставляем данные в уравнение математического ожидания, получаем $$ M(X) = 1*\frac{y}{42} + 3*\frac{x}{42} + 5\frac{2x}{42} = \frac{61}{21} => $$$$ y+13x =122$$ Получили два уравнения, составим систему уравнений и решим ее $$ \begin{cases}y+3x=42 \\ y+13x =122\end{cases} => \begin{cases}y+3x=42 \\ 10x =80\end{cases} => \begin{cases}y = 18 \\ x =8\end{cases}$$
Ответ: число шариков в корзине
с цифрой 1 - 18 шт., тогда вероятность взять шар с этой цифрой равна \( P(X=1) = \frac{18}{42} = \frac{9}{21}\)
с цифрой 3 - 8 шт., тогда вероятность взять шар с этой цифрой равна \( P(X=3) = \frac{8}{42} = \frac{4}{21}\)
с цифрой 5 - 16 шт. тогда вероятность взять шар с этой цифрой равна \( P(X=5) = \frac{16}{42} = \frac{8}{21}\)
Найдем дисперсию.
Разность \(X - M(X)\) - называется отклонением случайной величины \(X\) от ее математического ожидания \(M(X)\).
Дисперсией или рассеянием, случайной величины \(X\) называется математическое ожидание квадрата ее отклонения $$D(X) = M((X - M(X))^2)$$ Дисперсия случайной величины с законом распределения \(P(X = x_k) = p_k, (k = 1,2,...,n), \quad \sum_{k=1}^np_k=1\) определяется формулой $$ D(X) = \sum_{k=1}^n(x_k-M(X))^2p_k$$ найдем дисперсию $$ D(X) = (1-\frac{61}{21})^2\frac{9}{21}+(3-\frac{61}{21})^2\frac{4}{21}+(5-\frac{61}{21})^2\frac{8}{21} \approx 3.23$$
Ответ: дисперсия случайной величины \(X\) равна \(D(X) = 3.23\)
