Даны координаты точек A,В,С и М. А( 0; 6; -5), В( 8; 2; 5), С( 2; 6; -3), М( 5; 0; -6).
Найти:
1) Уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В и С.
Найдем уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки: А( 0; 6; -5), В( 8; 2; 5), С( 2; 6; -3).
Для решения задачи воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки в координатной форме $$ \left|\begin{array}{c}x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1\end{array}\right| = 0$$
Подставляем координаты вершин $$ \left|\begin{array}{c}x-0 & y-6 & z+ 5\\ 8-0 & 2-6& 5+ 5 \\ 2-0 & 6-6 & -3 +5\end{array}\right|= 0 => \left|\begin{array}{c}x & y-6 & z+ 5\\ 8 & -4& 10 \\ 2 & 0 & 2\end{array}\right|= 0 =>$$ найдем определитель, предварительно для упрощения расчетов проверить операции над строками определителя. Вынесем 2 из строки 3 и строки 2 $$4 \left|\begin{array}{c}x & y-6 & z+ 5\\ 4 & -2& 5 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right|= 0 =>$$ Разложим определитель по элементам третьей строки (это проще, т.к. в третьей строке из трех слагаемых два равны 0) $$ = 1*(-1)^{3+1} \left|\begin{array}{c}y-6 & z+ 5\\ -2& 5 \end{array}\right|+1*(-1)^{3+3} \left|\begin{array}{c}x & y-6\\ 4 & -2 \end{array}\right| =0 => $$$$ 5(y-6)+2(z+5)-2x-4(y-6) = 0 => -2x+y+2z+4=0 $$
Ответ: уравнение плоскости Q: \(-2x+y+2z+4=0\).
2) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку М( 5; 0; -6) перпендикулярно плоскости Q;
Уравнение плоскости Q было найдено в п.1: \(-2x+y+2z+4=0\), рассмотрим его.
Вспомним общее уравнение плоскости \(Ax+By+Cz+D = 0\), где вектор \( \vec{N} = (A;B;C)\) - вектор нормали к плоскости. В найденном уравнении плоскости вектор нормали имеет следующие координаты \(\vec{N} = (-2;1;2)\)
Вспомним каноническое уравнение прямой \(\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{p} \quad (1) \), где
координаты \((x_0;y_0;z_0)\) - координаты точки, принадлежащей прямой, согласно условия задачи это точка М( 5; 0; -6).
вектор \(\vec{s} = (m;n;p)\) - координаты направляющего вектора (вектор параллелен прямой).
Т.к. искомая прямая перпендикулярна плоскости, то вектора \(\vec{N} = \vec{s} = (-2;1;2)\)
Подставляем результат в уравнение прямой $$ \frac{x-5}{-2}=\frac{y-0}{1}=\frac{z+6}{2} => \frac{x-5}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z+6}{2}$$
Ответ: каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M перпендикулярно плоскости Q: \( \frac{x-5}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z+6}{2}\)
3) Точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями xOy, хОz, yOz;
Найдем точку пересечения прямой и плоскости Q, составим систему уравнений, состоящую из уравнения прямой в параметрическом виде \( \frac{x-5}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z+6}{2} = t\) и уравнения плоскости \(-2x+y+2z+4=0\) : $$ \begin{cases}-2x+y+2z+4=0\\ \frac{x-5}{-2}=t \\ \frac{y}{1} = t \\ \frac{z+6}{2}=t \end{cases} =>\begin{cases}-2x+y+2z+4=0\\ x=-2t+5 \\ y = t \\ z= 2t-6 \end{cases} =>$$$$ \begin{cases} -2(-2t+5)+t+2(2t-6)+4=0\\ x=-2t+5 \\ y = t \\ z= 2t-6 \end{cases} => \begin{cases} t = 2 \\ x=1 \\ y = 2 \\ z= -2 \end{cases}$$
Ответ: точка пересечения прямой и плоскости Q: \((1;2-2)\)
Найдем точки пересечения прямой с координатными плоскостями:
точка пересечения прямой с плоскостью \(xOy; \quad z=0 \quad \), \( \frac{x-5}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{0+6}{2} => \frac{x-5}{-2} = \frac{y}{1}= 3\) запишем систему уравнений $$ \begin{cases} \frac{x-5}{-2} = 3\\ \frac{y}{1}= 3 \\z =0 \end{cases} => \begin{cases}x = -1\\ y=3 \\ z=0 \end{cases} $$
точка пересечения прямой с плоскостью \(xOz; \quad y=0 \quad \), \( \frac{x-5}{-2} = \frac{z+6}{2} = 0=>\) запишем систему уравнений $$ \begin{cases} \frac{x-5}{-2} = 0 \\ \frac{z+6}{2} = 0 \\ y =0 \end{cases} => \begin{cases}x = 5\\ z=-6 \\ y=0 \end{cases} $$
точка пересечения прямой с плоскостью \(yOz; \quad x=0 \quad \), \( \frac{0-5}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z+6}{2} => \frac{y}{1}=\frac{z+6}{2} = \frac{5}{2}\) запишем систему уравнений $$ \begin{cases} \frac{y}{1} = \frac{5}{2} \\ \frac{z+6}{2} = \frac{5}{2} \\ x =0 \end{cases} => \begin{cases}y = \frac{5}{2}\\ z=-1 \\ x=0 \end{cases} $$
Ответ: точки пересечения прямой с координатными плоскостями:
\(xOy: \quad (-1;3;0)\)
\(xOz: \quad (5;0;-6)\)
\(yOz: \quad (0; \frac{5}{2};-1)\)
4) Расстояние от точки М( 5; 0; -6) до плоскости Q.
Расстояние от точки \(M(x_0;y_0;z_0)\) до площади рассчитывается по формуле $$ d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{ \sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$ где \( Ax_0+By_0+Cz_0+D\) - общее уравнение плоскости,
\(x_0;y_0;z_0\) - координаты точки \(M(x_0;y_0;z_0)\)
Рассмотрим уравнение плоскости Q: \(-2x+y+2z+4=0\) - общее уравнение плоскости.
\(A = -2;B = 1;C = 2;D=4\)
Координаты точки \(M(5;0;-6)\)
Подставляем данные в формулу, получаем $$ d = \frac{|-2*5+0+2*(-6)+4|}{ \sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}} = 6 $$
Ответ: расстояние от точки до плоскости равно \(d = 6\)
