Задание: найди предел: \lim_{x\to 4} \frac{5x-x^2-4}{x^2-2x-8}
Решение:
Найдем предел \lim_{x\to 4} \frac{5x-x^2-4}{x^2-2x-8} = \lim_{x\to 4} \frac{5*4-4^2-4}{4^2-2*4-8} = \frac{0}{0}
получили неопределенность вида
\frac{0}{0}.
Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя.
Правило Лопиталя:
Правило Лопиталя: если \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}, то \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}
Для применением правила Лопиталя необходима неопределенность вида
\frac{0}{0}, которой мы получили раннее, поэтому можно применить правило Лопиталя:
\lim_{x\to 4} \frac{5x-x^2-4}{x^2-2x-8} = \lim_{x\to 4} \frac{(5x-x^2-4)'}{(x^2-2x-8)'} =
находим отдельно производные числителя и знаменателя
= \lim_{x\to 4} \frac{5-2x}{2x-2} = \frac{5 -2*4}{2*4-2} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}
Ответ: \lim_{x\to 4} \frac{5x-x^2-4}{x^2-2x-8} = -\frac{1}{2} 
