Processing math: 9%
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Вычислить предел \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-e^x}{x+tg(x^2)}


0 Голосов
Оксана
Posted Октябрь 26, 2015 by Оксана
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 1988

Вычислить предел \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-e^x}{x+tg(x^2)}

Теги: найти предел, правило Лопиталя

Все ответы


1 Vote
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 26, 2015 by Вячеслав Моргун

Задание: найди предел:  \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-e^x}{x+tg(x^2)}
Решение:
Найдем предел   \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-e^x}{x+tgx^2} =  \frac{e^{0}-e^0}{0+0}= \frac{0}{0} получили неопределенность вида \frac{0}{0}.
Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя. 


Правило Лопиталя:
Правило Лопиталя: если \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}, то \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)} 
Для применением правила Лопиталя необходима неопределенность вида \frac{0}{0}, которую мы получили раннее, поэтому можно применить правило Лопиталя:  \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-e^x}{x+tgx^2} = \lim_{x\to 0} \frac{(e^{2x}-e^x)'}{(x+tgx^2)'} = находим отдельно производные числителя и знаменателя =\lim_{x\to 0} \frac{2e^{2x}-e^x}{1+\frac{1}{ \cos^2(x^2)}*2x} = \frac{2*1-1}{1+1*2*0} = 1


Ответ:   \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-e^x}{x+tg(x^2)} =1