Задание: найди предел: $$ \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-e^x}{x+tg(x^2)}$$
Решение:
Найдем предел $$ \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-e^x}{x+tgx^2} = \frac{e^{0}-e^0}{0+0}= \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\).
Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя.
Правило Лопиталя:
Правило Лопиталя: если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Для применением правила Лопиталя необходима неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), которую мы получили раннее, поэтому можно применить правило Лопиталя: $$ \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-e^x}{x+tgx^2} = \lim_{x\to 0} \frac{(e^{2x}-e^x)'}{(x+tgx^2)'} = $$находим отдельно производные числителя и знаменателя$$ =\lim_{x\to 0} \frac{2e^{2x}-e^x}{1+\frac{1}{ \cos^2(x^2)}*2x} = \frac{2*1-1}{1+1*2*0} = 1$$
Ответ: \( \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-e^x}{x+tg(x^2)} =1\)
