Найдем предел: функции $$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+x-4}{3+x-4x^2} $$
Найдем предел: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+x-4}{3+x-4x^2} = \frac{ \infty}{ \infty}$$
Получили неопределенность вида \( \frac{ \infty}{ \infty}\)
Предел будем искать двумя способами:
1. Найдем предел без использования правила Лопиталя.
Данный вид заданий решается методом преобразований (в данном случае преобразование многочлена). Цель преобразований - выделить в числителе и знаменателе множители, которые при \(x \to \infty\) стремятся к \(\infty\) и сократить их, т.е. сократить члены, которые приводят к неопределенности вида \(\frac{\infty}{\infty}\)
Решение: в данном случае числитель и знаменатель дроби стремятся при \(x \to \infty\) стремятся к \(\infty\) т.к. к бесконечности стремятся многочлены числителя и знаменателя. При решении подобных примеров выносят из числителя и знаменателя переменную \(x\) в наибольшей степени. Например, если в числителе наибольшая степень 3, а в знаменателе 4, то выносим из числителя и знаменателя переменную в степени 4.
В данном случае наибольшая степень числителя 2, знаменателя 2. Наибольшая степень неизвестной числителя и знаменателя равны, поэтому выносим из числителя и знаменателя \(x^2\), получаем $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+x-4}{3+x-4x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2} \frac{2+\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}}{\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x}-4} = $$$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{2+\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}}{\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x}-4} = $$ известно, что при \(\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty \), т.е. мы сократили множитель, который приводил к неопределенности при \(x \to \infty\).
Находим предел $$ = \frac{2+\frac{1}{ \infty}-\frac{4}{ \infty}}{\frac{3}{ \infty}+\frac{1}{ \infty}-4} = \frac{2+0-0}{0+0-4} = -\frac{1}{2}$$
Ответ: \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+x-4}{3+x-4x^2} = - \frac{1}{2}\)
2. Найдем предел с использованием правила Лопиталя.
Правило Лопиталя: если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Решение: Для применением правила Лопиталя необходима неопределенность вида \(\frac{\infty}{\infty}\), которую мы получили в п.1, поэтому можно применить правило Лопиталя: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+x-4}{3+x-4x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{(2x^2+x-4)'}{(3+x-4x^2)'} =$$ находим отдельно производные числителя и знаменателя$$ \lim_{x \to \infty} \frac{4x+1}{1-8x} = \frac{ \infty}{ \infty}$$ Опять получили неопределенность вида \(\frac{\infty}{\infty}\), повторно применим правило Лопиталя $$\lim_{x \to \infty} \frac{(4x+1)'}{(1-8x)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$$
Ответ: \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+x-4}{3+x-4x^2} = - \frac{1}{2}\)
