Вычислить предел $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+x-4}{3+x-4x^2}$$

Найдем предел: функции 

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+x-4}{3+x-4x^2}$$

Найдем предел: 

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+x-4}{3+x-4x^2}  = \frac{ \infty}{ \infty}$$
Получили неопределенность вида $\frac{ \infty}{ \infty}$

Предел будем искать двумя способами:
1. Найдем предел без использования правила Лопиталя.
Данный вид заданий решается методом преобразований (в данном случае преобразование многочлена). Цель преобразований - выделить в числителе и знаменателе множители, которые при $x \to \infty$ стремятся к $\infty$ и сократить их, т.е. сократить члены, которые приводят к неопределенности вида $\frac{\infty}{\infty}$ 

Решение: в данном случае числитель и знаменатель дроби стремятся при $x \to \infty$ стремятся к $\infty$ т.к. к бесконечности стремятся многочлены числителя и знаменателя. При решении подобных примеров выносят из числителя и знаменателя переменную $x$ в наибольшей степени. Например, если в числителе наибольшая степень 3, а в знаменателе 4, то выносим из числителя и знаменателя переменную в степени 4.
В данном случае наибольшая степень числителя 2, знаменателя 2. Наибольшая степень неизвестной числителя и знаменателя равны, поэтому выносим из числителя и знаменателя $x^2$, получаем

$$\lim_{x \to \infty}  \frac{2x^2+x-4}{3+x-4x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2} \frac{2+\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}}{\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x}-4} =$$ $$= \lim_{x \to \infty} \frac{2+\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}}{\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x}-4} =$$ известно, что при $\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty$, т.е. мы сократили множитель, который приводил к неопределенности при $x \to \infty$.
Находим предел $$= \frac{2+\frac{1}{ \infty}-\frac{4}{ \infty}}{\frac{3}{ \infty}+\frac{1}{ \infty}-4} = \frac{2+0-0}{0+0-4} = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+x-4}{3+x-4x^2}  = - \frac{1}{2}$

2. Найдем предел с использованием правила Лопиталя.

Правило Лопиталя: если $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty}$, то

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$  

Решение: Для применением правила Лопиталя необходима неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$, которую мы получили в п.1, поэтому можно применить правило Лопиталя:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+x-4}{3+x-4x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{(2x^2+x-4)'}{(3+x-4x^2)'} =$$ находим отдельно производные числителя и знаменателя $$\lim_{x \to \infty} \frac{4x+1}{1-8x} = \frac{ \infty}{ \infty}$$ Опять получили неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$, повторно применим правило Лопиталя $$\lim_{x \to \infty} \frac{(4x+1)'}{(1-8x)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+x-4}{3+x-4x^2}  = - \frac{1}{2}$