Найдем предел: \lim_{x \to 3} (10-3x)^{\frac{1}{x-3}}
Решение:
Найдем предел \lim_{x \to 3} (10-3x)^{\frac{1}{x-3}} = (10-3*3)^{\frac{1}{3-3}} = 1^{\infty} получили неопределенность вида 1^{\infty}. Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя и приведения к форме второго замечательного предела .
Рассмотрим оба метода:
1. Правило Лопиталя:
Проведем преобразования \lim_{x \to 3} (10-3x)^{\frac{1}{x-3}} = e^{\lim_{x \to 3} \ln (10-3x)^{\frac{1}{x-3}}} = = e^{\lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3} \ln (10-3x)} = \quad (1) Найдем отдельно предел \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3} \ln (10-3x) = \frac{0}{0}
Правило Лопиталя \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}
Применяем правило Лопиталя \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3} \ln (10-3x) = \lim_{x \to 3} \frac{(\ln (10-3x))'}{(x-3)'} = = \lim_{x \to 3} \frac{ \frac{-3}{10-3x}}{1} = \frac{-3}{10-3*3} = -3Подставляем ответ в (1)
= e^{\lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3} \ln (10-3x)} = e^{-3} = \frac{1}{e^3}
Ответ: \lim_{x \to 3} (10-3x)^{\frac{1}{x-3}} =\frac{1}{e^3}
2. Метод приведения к форме второго замечательного предела
Запишем второй замечательный предел \lim_{x \to 0}(1+ f(x))^\frac{1}{f(x)} = e
Проведем преобразования:
\lim_{x \to 3} (10-3x)^{\frac{1}{x-3}} = \lim_{x \to 3}(1 + (9-3x))^{\frac{1}{x-3}} = \quad (2) Получили f(x) = 9-3x, теперь в степени мы должны получить дробь вида \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{9-3x}, преобразуем степень \frac{1}{x-3} путем умножения на дробь \frac{-3}{-3}
\frac{1}{x-3}*\frac{-3}{-3} = \frac{1}{9-3x}*(-3) подставляем (2) = \lim_{x \to 3}(1 + (9-3x))^{\frac{1}{9-3x}*(-3)} = \lim_{x \to 3}((1 + (9-3x))^{\frac{1}{9-3x}})^{-3} = = (\lim_{x \to 3}(1 + (9-3x))^{\frac{1}{9-3x}})^{-3} = получили второй замечательный предел \lim_{x \to 3}(1 + (9-3x))^{\frac{1}{9-3x}}= e, подставляем = (\lim_{x \to 3}(1 + (9-3x))^{\frac{1}{9-3x}})^{-3}= e^{-3}
Ответ: \lim_{x \to 3} (10-3x)^{\frac{1}{x-3}} =\frac{1}{e^3}
