Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Latin1Supplement.js
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Составить уравнение плоскости проходящей через 2 параллельные прямые


0 Голосов
Вакуленко Дар
Posted Октябрь 21, 2015 by Вакуленко Дарья Владимировна
Категория: Аналитическая геометрия
Всего просмотров: 5471

Составить уравнение плоскости  P проходящей через 2 параллельные прямые:


L_1(x_1=2t+4 ; x_2=3t-2 ; x_3=2t+1) и L_2(x_1=2t-1 ; x_2=3t+2 ; x_3=2t+6)

Теги: уравнение плоскости через две параллельны прямые, смешаное произведение трех векторов

Все ответы


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 21, 2015 by Вячеслав Моргун

Решение: составим уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые, заданные параметрически: L_1: \quad x_1=2t+4 ; x_2=3t-2 ; x_3=2t+1 и L_2: \quad x_1=2t-1 ; x_2=3t+2 ; x_3=2t+6
Метод 1.
Из этих уравнений очень просто найти три точки, которые принадлежат этим прямым и соответственно плоскости.
Найдем точки
Прямая L_1:
Найдем координаты точек, например, при
t = 0; x_1=4; x_2=-2; x_3=1
t = 1; x_1=6; x_2=1; x_3=3
Прямая L_2:
Найдем координаты точек, например, при 
t = 0; x_1=-1; x_2=2; x_3=6


Применим уравнение плоскости, которая проходит через три заданных точки в координатной форме \left|\begin{array}{c}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1 \\x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right| = 0 Подставляем координаты точек  
\left|\begin{array}{c}x-4& y+2& z-1\\ 6-4& 1+2& 3-1 \\ -1-4& 2+2& 6-1\end{array}\right| = 0  
\left|\begin{array}{c}x-4& y+2& z-1\\ 2& 3& 2 \\ -5& 4& 5\end{array}\right| = 0 => Раскроем определитель по правилу треугольника, получаем
(x-4)*3*5+(y+2)*2*(-5)+(z-1)*2*4-  -(z-1)*(-5)*3- (x-4)*2*4-(y+2)*2*5 = 0 =>


 7x-20y+23z-91=0  
Ответ: Получили уравнение плоскости: проходящей через две параллельные прямые, заданные параметрически: 7x-20y+23z-91= 0


Метод 2.
Для решения задачи воспользуемся условием компланарности трех векторов:
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения, которое находится по формуле
(\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c} = \left|\begin{array}{c} a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{array}\right| Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.


Из условия задачи найдем три компланарных вектора.
1.  направляющий вектор прямых - коэффициенты при неизвестных L_1=(2;3;2)
2. возьмем по одной точке на каждой прямой (возьмем координаты при t=0), получили P_1(4;-2;1) и P_2(-1;2;6) (эти точки также принадлежат искомой плоскости).
Возьмем на плоскости переменную точку P(x;y;z).


Найдем координаты двух векторов, принадлежащих плоскости - векторы \vec{P_1P}=(x-4;y+2;z-1) и \vec{P_1P_2} = (-5;4;5).
Запишем условие компланарности этих векторов \left|\begin{array}{c}x-4& y+2 & z-1 \\ 2& 3& 2 \\ -5&4 &5 \end{array}\right| = 0 Получили уравнение плоскости 7x-20y+23z-91=0
Ответ: Получили уравнение плоскости: проходящей через две параллельные прямые, заданные параметрически: 7x-20y+23z-91=0