Решение: составим уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые, заданные параметрически: \(L_1: \quad x_1=2t+4 ; x_2=3t-2 ; x_3=2t+1\) и \( L_2: \quad x_1=2t-1 ; x_2=3t+2 ; x_3=2t+6 \)
Метод 1.
Из этих уравнений очень просто найти три точки, которые принадлежат этим прямым и соответственно плоскости.
Найдем точки
Прямая \(L_1:\)
Найдем координаты точек, например, при
\(t = 0; x_1=4; x_2=-2; x_3=1\)
\(t = 1; x_1=6; x_2=1; x_3=3\)
Прямая \(L_2:\)
Найдем координаты точек, например, при
\(t = 0; x_1=-1; x_2=2; x_3=6\)
Применим уравнение плоскости, которая проходит через три заданных точки в координатной форме $$\left|\begin{array}{c}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1 \\x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right| = 0$$ Подставляем координаты точек
$$\left|\begin{array}{c}x-4& y+2& z-1\\ 6-4& 1+2& 3-1 \\ -1-4& 2+2& 6-1\end{array}\right| = 0 $$
$$\left|\begin{array}{c}x-4& y+2& z-1\\ 2& 3& 2 \\ -5& 4& 5\end{array}\right| = 0 => $$ Раскроем определитель по правилу треугольника, получаем
$$ (x-4)*3*5+(y+2)*2*(-5)+(z-1)*2*4- $$$$ -(z-1)*(-5)*3- (x-4)*2*4-(y+2)*2*5 = 0 =>$$
$$ 7x-20y+23z-91=0$$
Ответ: Получили уравнение плоскости: проходящей через две параллельные прямые, заданные параметрически: \(7x-20y+23z-91= 0\)
Метод 2.
Для решения задачи воспользуемся условием компланарности трех векторов:
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения, которое находится по формуле
$$ (\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c} = \left|\begin{array}{c} a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{array}\right| $$Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
Из условия задачи найдем три компланарных вектора.
1. направляющий вектор прямых - коэффициенты при неизвестных \(L_1=(2;3;2)\)
2. возьмем по одной точке на каждой прямой (возьмем координаты при t=0), получили \(P_1(4;-2;1)\) и \(P_2(-1;2;6)\) (эти точки также принадлежат искомой плоскости).
Возьмем на плоскости переменную точку \(P(x;y;z)\).
Найдем координаты двух векторов, принадлежащих плоскости - векторы \(\vec{P_1P}=(x-4;y+2;z-1)\) и \(\vec{P_1P_2} = (-5;4;5)\).
Запишем условие компланарности этих векторов $$\left|\begin{array}{c}x-4& y+2 & z-1 \\ 2& 3& 2 \\ -5&4 &5 \end{array}\right| = 0 $$ Получили уравнение плоскости $$7x-20y+23z-91=0$$
Ответ: Получили уравнение плоскости: проходящей через две параллельные прямые, заданные параметрически: \(7x-20y+23z-91=0\)
