Решим систему уравнений $$ \begin{cases}2x-3y+z= -1 \\ x+5y-4z= -3 \\ 4x+y-3z= -5 \\ x-y= -1 \end{cases} $$
Методом Гаусса
1.Проверяем систему уравнений на совместность. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Составим расширенную матрицу системы, приписав к матрице из коэффициентов системы \(A = \left(\begin{array}{c} 2& -3 & 1 \\ 1 & 5 & -4\\ 4 & 1 & -3 \\ 1 & -1& 0 \end{array}\right)\) справа столбец свободных членов, получаем : \((A|b) = \left(\begin{array}{c} 2& -3 & 1 \\ 1 & 5 & -4\\ 4 & 1 & -3 \\ 1 & -1& 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ -5 \\ -1 \end{array}\right.\right)\)
Согласно теоремы Кронекера-Капелли система \(Ax=b\) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы \(rg(A|b)=rgA\)
Найдем ранг матрицы:
2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы \((A|b)\) , приведем ее к ступенчатому виду,
для этого используем метод Гаусса.
Прямой ход метода Гаусса.
Нам необходимо выбрать ведущий элемент в первом столбце. Для простоты решения нужно чтобы он был равен 1.
\((A|b) = \left(\begin{array}{c} 2& -3 & 1 \\ 1 & 5 & -4\\ 4 & 1 & -3 \\ 1 & -1& 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ -5 \\ -1 \end{array}\right.\right) \sim \)
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{41} = 1 \ne 0 \). Этот элемент уже равен 1.
Из первой строки вычтем четвертую строку
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 1 & 5 & -4\\ 4 & 1 & -3 \\ 1 & -1& 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ -5 \\ -1 \end{array}\right.\right) \sim \)
Аналогично из второй строки вычитаем четвертую, получим:
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 0 & 6 & -4\\ 4 & 1 & -3 \\ 1 & -1& 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ -5 \\ -1 \end{array}\right.\right) \sim \)
Из третьей строки вычитаем четвертую, умножив ее на 4, получим:
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 0 & 6 & -4\\ 0 & 5 & -3 \\ 1 & -1& 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right.\right) \sim \)
Из четвертой строки вычитаем первую,, получим:
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 0 & 6 & -4\\ 0 & 5 & -3 \\ 0 & 1& -1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right.\right) \sim \)
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{42} = 1 \ne 0\).
Из второй строки вычитаем четвертую, умножив ее на 6, получим:
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 5 & -3 \\ 0 & 1& -1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right.\right) \sim \)
Из третьей строки вычитаем четвертую, умножив ее на 5, получим:
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1& -1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right.\right) \sim \)
Две строки 2 и 3 одинаковые, оставляем одну из них и меняем местами со строкой 4
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 0 & 1& -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 4 \end{array}\right.\right) \sim \)
Делим строку 3 на 2
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 0 & 1& -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right.\right) \sim \)
3. Определим ранг матрицы
\(rgA = rg(A|b) = 3\) Согласно теоремы Кронекера-Капелли система совместна. Так как система совместна, продолжаем ее решать методом Гаусса, приводим полученную матрицу \((\widetilde{A}|\widetilde{b})\) к упрощенному виду:
4. Обратный ход метода Гаусса.
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{33} = 1 \ne 0\).
Складываем вторую и третью строки
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 1 \\ 0 & 1&0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right.\right) \sim \)
Вычитаем из первой строки третью
\( \left(\begin{array}{c} 1& -2 & 0 \\ 0 & 1&0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right.\right) \sim \)
Складываем первую строку и вторую строку, умноженную на 2
\( \left(\begin{array}{c} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1&0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right.\right) \sim \)
Привели матрицу к упрощенному виду.
Ответ: Решением системы уравнений единственное и равно \( \begin{cases} x = 0 \\ y = 1 \\ z = 2 \end{cases} \)
