Сила F=3і-2j+5k прикладена до точки М1 (1,5,3) . М2 (6,4,-7) Визначити: 1. величину роботи,

Рішення:
Спираючись на фізичний зміст криволінійного інтеграла II роду, обчислимо роботу сили \(F\) при переміщенні матеріальної точки вздовж прямої \(AB\) за допомогою інтеграла: $$A = \int_{AB} P(x;y;z)dx + Q(x;y;z)dy+R(x;y;z)dz = $$ якщо крива задана параметричними рівняннями \(x = x(t); \quad y = y(t) \quad z = z(t)\), та на кривій визначена вектор-функція \(F = (P;Q;R)\) криволінійний інтеграл II роду по просторовії гладкії кривії обчислюється за формулою
$$ = \int_{t_1}^{t_2} [P(x(t);y(t);z(t))x'(t) + Q(x(t);y(t);z(t))y'(t)+R(x(t);y(t);z(t))z'(t)]dt $$
Запишемо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки в просторі $$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$ Підставляємо координати відомих точок \(M_1(1;5;3);M_2(6;4;-7)\) $$ \frac{x - 1}{6-1} = \frac{y-5}{4-5} = \frac{z-3}{-7-3} => $$$$ \frac{x - 1}{5} = \frac{y-5}{-1} = \frac{z-3}{-10} = t$$ Вводячи параметр \(t\), отримуємо параметричні рівняння прямої: $$x = 5t+1; \quad y = -t+5; \quad z = -10t+3$$ звідки отримуємо $$ dx = 5dt; \quad dy=-dt; \quad dz=-10dt$$ Проекції вектора \(F = (P;Q;R)\) у даному разі \(F=3i-2j+5k => F=(3;-2;5)\)  звідки отримуємо $$P=3; \quad Q=-2; \quad R=5$$ При переміщенні від точки \(M_1(1;5;3)\) до точки \(M_2(6;4;-7)\) параметр \(t\) змінюється від 0 до 1. 

Підінтегральний вираз перетвориться до вигляду (робота сили \(F\) уздовж цієї прямої визначаємо за формулою) $$A = \int_{AB} 3dx -2dy+5dz = $$$$ = \int_0^1 [3*5 +2-50]dt = -33t|_0^1 = -33$$ 
Відповідь:  робота сили \(F\) уздовж прямої \(M_1M_2\) дорівнює \(A = -33\)