Члени послідовності \(a_n \) визначені умовами \(a_1 = 2 \) і \(a_n = 3a_ {n-1} +1 \quad (1) \)
Доведемо методом математичної індукції формулу \(a_n \) члена послідовності $$ a_n = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ {n-1} -1) \quad (2) $$
Алгоритм доказу методом математичної індукції
складається з 3-х кроків.
Розглянемо докладно:
1 -й крок . Перевіряємо істинність твердження при \(n = 2 \), тобто перевіримо істинність формули (2) для члена послідовності \(a_2 \).
Підставляємо у формулу \(n = 2 \) і переконаємося в цьому
Розрахуємо член послідовності для формули (1) \(a_n = 3a_ {n-1} +1 \) при відомому значенні члена \( a_1 = 2 \)
\(a_2 = 3a_ {2-1} +1 = 3a_ {1} +1 = 3 * 2 + 1 = 7 \)
Розрахуємо член послідовності для формули (2) \(a_n = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ {n-1} -1) \) при відомому значенні члена \(a_1 = 2 \) і порівняємо його з членом \(a_2 \), отриманим за формулою (1)
\(a_2 = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ { 2-1} -1) = 7 \)
Отримали рівність членів \(a_2 = 7 \), для формул (1) і (2).
Можна перевірити формули для члена \(a_3 \)(для методу одна перевірка достатня, друга перевірка потрібна тільки для контролю)
Розрахуємо член послідовності для формули (2) \(a_n = 3a_ {n-1} + 1 \) при відомому значенні члена \(a_2 = 7 \)
\(a_3 = 3a_ {3-1} +1 = 3a_ {2} +1 = 3 * 7 + 1 = 22 \)
Розрахуємо член послідовності для формули (2) \(a_n = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ {n-1} -1) \) при відомому значенні члена \( a_2 = 7 \)
\(a_3 = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ {3-1} -1) = 22 \)
Отримали рівність членів \(a_3 = 22 \), отриманих по обидва формулами (1) і (2).
Знову отримали справжнє рівність (так і повинно було бути, ми ж доводимо істинність для будь-якого \(n \)). Тепер пора переходити до другого кроку.
2 - й крок. Припустимо (вважатимемо), що член послідовності \(a_n = 3a_ {n-1} +1 \) дорівнює члену, розрахований за формулою, \(a_n = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ { n-1} -1) \).
3-й крок . Необхідно довести істинність рівності членів при \(n = n + 1 \). Якщо ми доведемо рівність, то це означатиме істинність формули (2) для будь-якого \(n \). Підставами \(n = n + 1 \) член послідовності в формулу (1) і (2) отримуємо $$ a_ {n + 1} = 3a_ {n} +1 \quad (3) $$ $$ a_ {n + 1} = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ {n} -1) \quad (4) $$
Проведемо перетворення формули (3) так, щоб отримати формулу (4)
Скористаємося формулою \(n \) - го члена послідовності \(a_n = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ {n-1} -1) \), яку ми вважаємо істинною (див. крок 2) і підставимо її в (3) $$ a_ {n + 1} = 3a_ {n} +1 = 3 \frac {1} {2} (5 * 3 ^ {n-1} -1) +1 = $$$$ = \frac {3 * 5 * 3 ^ {n-1} -3 * 1 + 2} {2} = \frac {5 * 3 ^ n -1} {2} $$ Шляхом перетворень з формули (3) отримали формулу (4), що потрібно було довести.
Формула \(a_n = \frac {1} {2} (5 * 3 ^ {n-1} -1) \) члена послідовності визначеної умовами \(a_1 = 2 \) і \( a_n = 3a_ {n-1} +1 \) доведена методом математичної індукції.
