Задача: Вероятность того,что произвольная деталь из данной партии подойдет к собираемому узлу, равна 0,85 .с помощью формул Лапласа найти вероятность того, что при сборке 200 узлов нестандартными окажутся от 35 до 45 деталей.
Решение: Если количество \(n\) испытаний Бернулли велико, а \(npq \geq 10\) (т.е. вероятность \(p\) появления события \(A\) в каждом испытании не слишком мала), применяются приближения формулы Бернулли:
Интегральная теорема Муавра – Лапласа.
Вероятность того, что в \(n\) независимых испытаниях ( n >> 1) событие \(A\)  произойдет от \(k_1\) до \(k_2\) раз, приближенно можно найти по формуле $$P(k_1 \leq x \leq k_2) = \Phi(\frac{ k_2-np}{\sqrt{npq}})- \Phi(\frac{ k_1-np}{\sqrt{npq}}) \quad (1)$$где \(p\) - вероятность успеха в каждом испытании,
\(q = 1 - p\) - вероятность не успеха в каждом испытании,
\(\Phi(x)\) - Функция Лапласа.
Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа обеспечивают приемлемую точность, если вероятность \(p\) каждого успеха удовлетворяет ограничениям: \(p > \frac{1}{n+1}\) или \( p < \frac{n}{n+1}\) , т.е. \(p\) не слишком мала и не близка к единице.
Применяем интегральную теорему Муавра – Лапласа:
\(k_1 = 35\)
\(k_2 = 45\)
\(p =0.15\)
\(n=200\)
$$P_{200}(35,45) = \Phi(\frac{ 45-200*0.15}{\sqrt{200*0.15*0.85}})- \Phi(\frac{ 35-200*0.15}{\sqrt{200*0.15*0.85}}) = $$$$ = \Phi(2.97)- \Phi(0.99) = 0.49851 - 0.3389 = 0.15961$$
Ответ: вероятность того, что при сборке 200 узлов нестандартными окажутся от 35 до 45 деталей равна \(P_{200}(35,45) = 0.15961\)
