Задание: Вероятность того,что произвольная деталь из данной партии подойдет к собираемому узлу, равна 0,85 . C помощью формул Лапласа найти вероятность того,что при сборке 200 узлов нестандартными окажутся: 45 деталей;
Решение: Если количество независимых испытаний достаточно большое применения формулы Бернулли становится трудоемким. Для упрощения вычислений применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа, которые дают близкий к формуле Бернулли результат при большом количестве испытаний и не требуют больших вычислений.
Локальная теорема Лапласа: Вероятность того, что в \(n\) независимых испытаниях с вероятностью появления события \(A\) равной \(0 < P < 1\) событие наступит ровно раз \(k\) (безразлично в какой последовательности) определяется по приближенной формуле $$P_n(k) = \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x)$$ где \(\phi(x)\) - функция Гаусса
\(x = \frac{x - np}{ \sqrt{npq}}\) - аргумент функции Гаусса
Теорему Лапласа рекомендуется применять при значениях произведения \(npq > 10; \), в противном случае погрешность вычисления будет высокая.
В нашем случае
\(n = 200\) - количество испытаний.
\(q = 0.85\) - вероятность того, что деталь подойдет к узлу.
\(p = 1-q = 0.15\) - вероятность того, что деталь не подойдет к узлу.
\(k = 45\) - число появления события
Проверяем \( npq = 200*0.85*0.15 \approx 25.5 > 10 \),
также учтем, что функция Гаусса - четная функция \(\phi(-x) = \phi(x)\)
Найдем аргумент функции Гаусса \(x = \frac{k - np}{ \sqrt{npq}} = \frac{45-200*0.15}{\sqrt{200*0.85*0.15}} \approx 2.97\)
Ищем по таблице Гаусса $$ \phi( 2.97) = 0.0048$$
Вероятность равна $$P_{200}(45) = \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{ 200*0.85*0.15}}*0.0048 \approx 0.000950542$$
формула Лапласа - формула приближенного вычисления, а Бернулли зависит от алгоритма в ПК, поэтому есть различия в ответе.
Ответ: вероятность того, что при сборке 200 узлов нестандартными окажутся 45 деталей равна \( P_{200}(45) = 0.000950542 = 9.50542*10^{-4}\)
