Решение:
Для нахождения объема воспользуемся следующей формулой:
Сверху тело ограничено кривой \(z = 8-2x^2-4y => \frac{x^2}{4}+\frac{y}{2}+\frac{z}{8} = 1\). Если функция \(f(x;y;z) = 1\), то объем находится по формуле:
если область интегрирования \(V\) определяется неравенства \(x_1 \leq x \leq x_2\), \(y_1(x) \leq y(x) \leq y_2(x)\), \(z_1(x,y) \leq z \leq z_2(x,y)\), где \(y_1(x), y_2(x), z_1(x,y), z_2(x,y)\) - непрерывные функции своих аргументов, то объем вычисляется как тройной интеграл по формуле $$\int\int_{V}\int dxdydz = \int_{x_1}^{x_2}dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}dy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}dz$$ область \(V\) ограничена сверху плоскостью \(z = z_2(x,y)\), снизу - поверхностью \(z = z_1(x,y)\), а с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, вырезающей на плоскости Oxy \(S_{xy}\), определенную неравенствами \(x_1 \leq x \leq x_2\), \(y_1(x) \leq y \leq y_2(x)\).
Обращаю внимание, что порядок интегрирования может быть любым.
Алгоритм вычисления тройного интеграла:
1. Расставим пределы интегрирования.
Рассмотрим проекцию тела \(V\) на плоскость xOy. Тело сверху ограничено кривой \(z = 8-2x^2-4y\)
\(z=0 \) => \( 0 = 8-2x^2-4y => y = 2-\frac{x^2}{2}\)
\(z=8 \) => \( 8 = 8-2x^2-4y => y = -\frac{x^2}{2}\)
это будет множество парабол, ветви, которых направлены вниз, при увеличении \(z\) параболы сдвигаются вдоль оси Oy вниз .
Пределы интегрирования по оси Ox ищем, согласно условия, в первой четверти - от оси Oy \(x=0\) и наибольшая точка пересечения параболы с этой осью и прямой \(y = 1 - \frac{x}{2} \), это точка при \(z = 0, y = 0 => x = 2\) (эти точки пересечения совпали). Получили пределы интегрирования \(0 \leq x \leq 2 \)
Пределы интегрирования по оси Oy ищем, согласно условия, в первой четверти - от прямой \(x+2y=2 => y = 1 - \frac{x}{2}\) до проекции ограничено кривой \(z = 8-2x^2-4y\), при \( z=0; => y = 2-\frac{x^2}{2}\), получили пределы интегрирования \( 1 - \frac{x}{2} \leq y \leq 2-\frac{x^2}{2}\)
Пределы интегрирования по оси Oz - от плоскости xOy до поверхности \(z = 8-2x^2-4y\) - получили \(0 \leq z \leq 8-2x^2-4y \)
2. Вычисляем тройной интеграл при известных границах $$ \int \int_{V} \int dxdydz= \int_0^2dx\int_{1 - \frac{x}{2}}^{2-\frac{x^2}{2}}dy\int_0^{8-2x^2-4y}dz = $$ интегрируем внутренний интеграл по переменной \(z\) , получаем \(\int_0^{8-2x^2-4y}dz = 8-2x^2-4y\), подставляем $$ = \int_0^2dx \int_{1 - \frac{x}{2}}^{2-\frac{x^2}{2}}(8-2x^2-4y)dy = \quad (2)$$ интегрируем внутренний интеграл по переменной \(y\), получаем \( \int_{1 - \frac{x}{2}}^{2-\frac{x^2}{2}}(8-2x^2-4y)dy = 8y -2x^2y-2y^2|_{1 - \frac{x}{2}}^{2-\frac{x^2}{2}} = \), получаем \( = \frac{x^4}{2}-x^3 - \frac{3}{2}x^2+2x+ 2\) подставляем в (2) $$ = \int_0^2(\frac{x^4}{2}-x^3 - \frac{3}{2}x^2+2x+ 2)dx= $$ $$= \frac{x^5}{10} -\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{2} +x^2 + 2x|_0^2 = \frac{16}{5}$$
Ответ: объем равен \(V = \frac{16}{5}\)
