Loading Web-Font TeX/Main/Regular
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Найти предел функций \lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2}


1 Vote
Лухановна Ели
Posted Октябрь 5, 2015 by Лухановна Елизавета Сергеевна
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 2094

Найти предел функций, не пользуясь правилом Лопиталя \lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2}

Теги: предел, найти предел, раскрытие неопределенности

Все ответы


1 Vote
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 5, 2015 by Вячеслав Моргун

Найти предел, не используя правило Лопиталя: \lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2}


Решение: найдем предел  \lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2} = \frac{ \sin^4(0)}{( \cos(0)-1)^2} = \frac{0}{0}

получили неопределенность вида \frac{0}{0}. Будем разрешать неопределенность без применения правила Лопиталя. Проведем преобразования дроби, выделим в числителе и знаменателе множители, которые при нахождении предела стремятся к 0. 


Применим формулу косинуса двойного угла \sin(2x)= 2 \sin(x)\cos(x), получаем


\lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2} = \lim_{x \to 0}\frac{ 2^4\sin^4(x)\cos^4(x)}{( \cos(x)-1)^2} =

Применим формулу основного тригонометрического тождества \sin^2(x)+ \cos^2(x)= 1 = \lim_{x \to 0}\frac{ 2^4(1 - \cos^2(x))^2\cos^4(x)}{( \cos(x)-1)^2} =
применим формулу разности квадратов a^2−b^2=(a−b)(a+b)


= \lim_{x \to 0}\frac{ 2^4(1 - \cos(x))^2(1 + \cos(x))^2\cos^4(x)}{( \cos(x)-1)^2} =

получили множитель (1 - \cos(x))^2 предел которого равен \lim_{x \to 0}(1 - \cos(x))^2 =0 это и есть искомый множитель, сократим его в числителе и знаменателе


= \lim_{x \to 0} 2^4(1 + \cos(x))^2\cos^4(x) =

найдем предел = 2^4(1 + \cos(0))^2\cos^4(0) = 2^4(1 + 1)^2*1 = 2^6 = 64


Ответ: предел \lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2} = 64