Найти предел, не используя правило Лопиталя: \lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2}
Решение: найдем предел \lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2} = \frac{ \sin^4(0)}{( \cos(0)-1)^2} = \frac{0}{0}
получили неопределенность вида
\frac{0}{0}. Будем разрешать неопределенность без применения правила Лопиталя. Проведем преобразования дроби, выделим в числителе и знаменателе множители, которые при нахождении предела стремятся к 0.
Применим формулу косинуса двойного угла \sin(2x)= 2 \sin(x)\cos(x), получаем
\lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2} = \lim_{x \to 0}\frac{ 2^4\sin^4(x)\cos^4(x)}{( \cos(x)-1)^2} =
Применим формулу основного тригонометрического тождества
\sin^2(x)+ \cos^2(x)= 1 = \lim_{x \to 0}\frac{ 2^4(1 - \cos^2(x))^2\cos^4(x)}{( \cos(x)-1)^2} =
применим формулу разности квадратов
a^2−b^2=(a−b)(a+b)
= \lim_{x \to 0}\frac{ 2^4(1 - \cos(x))^2(1 + \cos(x))^2\cos^4(x)}{( \cos(x)-1)^2} =
получили множитель
(1 - \cos(x))^2 предел которого равен
\lim_{x \to 0}(1 - \cos(x))^2 =0 это и есть искомый множитель, сократим его в числителе и знаменателе
= \lim_{x \to 0} 2^4(1 + \cos(x))^2\cos^4(x) =
найдем предел
= 2^4(1 + \cos(0))^2\cos^4(0) = 2^4(1 + 1)^2*1 = 2^6 = 64
Ответ: предел \lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2} = 64