Найти предел функций $$\lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2}$$

Найти предел, не используя правило Лопиталя: $\lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2}$

Решение: найдем предел 

$$\lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2} = \frac{ \sin^4(0)}{( \cos(0)-1)^2} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Будем разрешать неопределенность без применения правила Лопиталя. Проведем преобразования дроби, выделим в числителе и знаменателе множители, которые при нахождении предела стремятся к 0. 

Применим формулу косинуса двойного угла $\sin(2x)= 2 \sin(x)\cos(x)$, получаем

$$\lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2} = \lim_{x \to 0}\frac{ 2^4\sin^4(x)\cos^4(x)}{( \cos(x)-1)^2} =$$ Применим формулу основного тригонометрического тождества $\sin^2(x)+ \cos^2(x)= 1$ $$= \lim_{x \to 0}\frac{ 2^4(1 - \cos^2(x))^2\cos^4(x)}{( \cos(x)-1)^2} =$$ применим формулу разности квадратов $a^2−b^2=(a−b)(a+b)$

$$= \lim_{x \to 0}\frac{ 2^4(1 - \cos(x))^2(1 + \cos(x))^2\cos^4(x)}{( \cos(x)-1)^2} =$$ получили множитель $(1 - \cos(x))^2$ предел которого равен $\lim_{x \to 0}(1 - \cos(x))^2 =0$ это и есть искомый множитель, сократим его в числителе и знаменателе

$$= \lim_{x \to 0} 2^4(1 + \cos(x))^2\cos^4(x) =$$ найдем предел $$= 2^4(1 + \cos(0))^2\cos^4(0) = 2^4(1 + 1)^2*1 = 2^6 = 64$$

Ответ: предел $\lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2} = 64$