Решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка $$y''+2y'+2y=2x^2+8x+6$$ при заданных начальных условиях \(y(0)=1,y'(0)=4\)
Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка
1. Решаем однородное уравнение \(y''+2y'+2y = 0\)
Решение будем искать в виде \(y = e^{λx}\), тогда \(y′= λe^{λx};y′′= λ^2e^{λx}\).
Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение $$λ^2e^{λx} + 2λe^{λx} +2e^{λx} = 0 => $$ сокращаем на \(e^{λx}\), получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений)
$$λ^2 + 2λ +2 = 0 =>$$ найдем корни характеристического уравнения $$λ_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{2} => λ_{1} = -1-i; λ_{2} = -1+i$$
Получили комплексно сопряженные корни, им соответствуют два решения \(y_1(x)=e^{-x}\cos(x); y_2(x)=e^{-x}\sin(x)\)
Общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация \(y_{одн} = C_1e^{-x}\cos(x)+ C_2e^{-x}\sin(x)\)
2. Решаем неоднородное уравнение \( y''+2y'+2y = 2x^2+8x+6\)
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной \(C_1=C_1(x); C_2=C_2(x)\) в виде \(y_{част}(x) = C_1(x)e^{-x}\cos(x)+ C_2(x)e^{-x}\sin(x) \quad (1)\).
Для нахождения функций \(C_1(x);C_2(x)\), подставим результаты в систему с учетом
\(y_1'(x)= (e^{-x}\cos(x))' = -e^{-x}( \cos(x)+ \sin(x))\)
\(y_2'(x)= (e^{-x}\sin(x))' = e^{-x}( \cos(x)- \sin(x))\)
$$ \begin{cases}C′_1(x)y_1(x)+C′_2(x)y_2(x)=0 \\C′_1(x)y′_1(x)+C′_2(x)y′_2(x)= \frac{b(x)}{a_0(x)} \end{cases}$$ получаем
$$ \begin{cases}C′_1(x)e^{-x}\cos(x)+C′_2(x)e^{-x}\sin(x)=0 \\C′_1(x)(-e^{-x}( \cos(x)+ \sin(x)))+C′_2(x)(e^{-x}( \cos(x)- \sin(x)))= 2x^2+8x+6 \end{cases}=>$$
$$\begin{cases}C′_1(x)\cos(x)+C′_2(x)\sin(x)=0 \\-C′_1(x)( \cos(x)+ \sin(x))+C′_2(x)( \cos(x)- \sin(x))= (2x^2+8x+6)e^{x} \end{cases}$$
решаем систему уравнений методом Крамера и находим интегралы.
$$ C_1(x) = \int \frac{ \left|\begin{array}{c} 0 & \sin(x)\\ (2x^2+8x+6)e^{x} & \cos(x) - \sin(x)\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c} \cos(x) & \sin(x)\\ -(\cos(x) + \sin(x)) & \cos(x) - \sin(x)\end{array}\right|}dx= $$
$$ = \int \frac{ -\sin(x)(2x^2+8x+6)e^{x}}{\cos(x)(\cos(x) - \sin(x))+ \sin(x)(\cos(x) + \sin(x))}dx =$$$$ =\int \frac{ -\sin(x)(2x^2+8x+6)e^{x}}{\cos^2(x) - \cos(x)\sin(x) + \sin(x)\cos(x) +\sin^2(x)}dx = $$$$ = -\int \sin(x)(2x^2+8x+6)e^{x}dx = $$$$ = -e^{x}((x^2+4x+2) \sin(x) - x(x+2) \cos(x))$$
$$ C_2(x) = \int \frac{ \left|\begin{array}{c} \cos(x) & 0 \\ \cos(x) + \sin(x) & (2x^2+8x+6)e^{x} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c} \cos(x) & \sin(x)\\ -(\cos(x) + \sin(x)) & \cos(x) - \sin(x)\end{array}\right|}dx= $$
$$ = \int \frac{ \cos(x)(2x^2+8x+6)e^{x}}{\cos(x)(\cos(x) - \sin(x)) + \sin(x)(\cos(x) + \sin(x))}dx = $$$$ = \int \frac{ \cos(x)(2x^2+8x+6)e^{x}}{\cos^2(x) - \cos(x)\sin(x) + \sin(x)\cos(x) +\sin^2(x)}dx = $$$$ = \int \cos(x)(2x^2+8x+6)e^{x}dx =$$$$ = e^{x}((x^2+4x+2)\cos(x)+x(x+2) \sin(x))$$
Подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения
$$y_{част}= -e^{x}((x^2+4x+2) \sin(x) - x(x+2) \cos(x))*e^{-x}\cos(x)+ $$$$ +e^{x}((x^2+4x+2)\cos(x)+x(x+2) \sin(x))*e^{-x}\sin(x)= $$
$$ = x(x+2) \cos^2(x)+x(x+2) \sin^2(x) = x^2+2x$$
3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида \(y_{об} = y_{одн}+y_{част} \)
подставляем результаты из п.1,п.2
$$ y_{об}= C_1e^{-x}\cos(x)+ C_2e^{-x}\sin(x) + x^2+2x$$
4. Решаем задачу Коши при начальных условиях \(y(0)=1,y'(0)=4\)
Находим значения констант при заданных начальных условиях Коши
Находим значение функции при условии \(y(0)=1\)
$$ y_{об}(0)= C_1e^{-x}\cos(x)+ C_2e^{-x}\sin(x) + x^2+2x =1 => C_1 =1$$
Находим производную \(y'(x)\)
$$ y'_{об}= C_1e^{-x}\cos(x)+ C_2e^{-x}\sin(x) + x^2+2x = $$$$ = -C_1e^{-x} \cos(x)-C_1e^{-x} \sin(x)-C_2e^{-x}\sin(x)+C_2e^{-x} \cos(x)+2x+2$$
при условии \(y'(0)=4\)
$$ y'_{об}(0) = -C_1+C_2+2 = 4$$
Составляем систему уравнений и решаем ее $$\begin{cases} C_1 =1\\ -C_1+C_2= 2\end{cases} => \begin{cases} C_1 =1\\ C_2= 3\end{cases}$$
Подставляем результат в п.3, получаем общее решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях Коши
$$ y_{об}= e^{-x}\cos(x)+ 3e^{-x}\sin(x) + x^2+2x $$
Ответ: решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальному условию Каши $$ y_{об}= e^{-x}\cos(x)+ 3e^{-x}\sin(x) + x^2+2x $$
