Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Составить каноническое уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до прямой х= -3 в два ра


0 Голосов
Стукановская
Posted Октябрь 1, 2015 by Стукановская
Категория: Аналитическая геометрия
Всего просмотров: 4314

Составить каноническое уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до прямой х= -3 в два раза меньше расстояния до точки F (-12; 0)

Теги: найти геометрическое место точек, расстояние между двумя точками

Все ответы


1 Vote
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 1, 2015 by Вячеслав Моргун

Решение
для решения применим метод расстояний. 
Найдем геометрической место точек, удовлетворяющих заданному условию. 


Пусть точка с координатами A(x;y) удовлетворяет этим условиям: 
1. расстояние от этой точки до прямой х= -3 равное \(d\)
2. расстояние \(d\) в два раза меньше расстояния до точки F(-12; 0), т.е равно \(2d\). 


Расстояние от точки A(x;y) прямой х= -3 равно \(d = x-(-3) = x+3\)
Расстояние от точки A(x;y) до точки F(-12; 0) равно \(2d = \sqrt{(y-0)^2+(x+12)^2}\)


Приравняем эти расстояния
$$ 2(x+3)= \sqrt{(y-0)^2+(x+12)^2}=>$$$$4(x+3)^2 =y^2+(x+12)^2 =>$$
$$ 4x^2+24x+36 = y^2 + x^2+24x+144 =>$$$$ 3x^2 - y^2 =108 => $$$$ \frac{x^2}{6^2} - \frac{y^2}{(6\sqrt{3})^2} = 1$$
Ответ: получили уравнение гиперболы \(\frac{x^2}{6^2} - \frac{y^2}{(6\sqrt{3})^2} = 1\) с действительной осью симметрии Ox и мнимой осью симметрии Oy. Действительная полуось \(a = 6\), мнимая полуось \(b = 6\sqrt{3} \)


Построим график: 


найти геометрическое место точек