Рішення : знайдемо інтеграл від функції комплексної змінної: $$ \int_{L} z | z | dz $$ де \(L: = \{| z | = 1, \quad \Im(z) \geq 0 \} \)
Визначимо, що з себе представляє контур \(L \).
\(| z | = 1 = > \sqrt{x^2 + y^2} = 1 => x^2 + y^2 = 1 \) отримали, що контуром є дуга кола при \(\Im(z) \geq 0 => y \geq 0 \).
Висновок : контур \(L \) - дуга кола з центром у початку координат і радіусом \(R = 1 \), яка розташована вище осі Ox.
Для знаходження інтеграла будемо використовувати комплексне число \(z \) в показовій формі \(z = \rho e^{i \phi} \), де \( \rho = | z | = 1 \), \(\phi = Arg (z) \) з умови задачі -дуга лежить вище осі Ox, випливає, що \(0 \leq \phi \leq \pi \). Отримали комплексне число $$ z = e^{i \phi} => dz = ie^{i \phi} d \phi $$ Підставляємо в інтеграл $$ \int_{L} z | z | dz = \int_0^{\pi} e^{i \phi} * 1 * ie ^{i \phi} d \phi = > $$$$ = i \int_0^{\pi} e^{2i \phi} d \phi = i * \frac{1}{2i}e^{2i \phi} | _0^{\pi} = >$$$$ = \frac{1}{2} e^{2i\pi} - \frac{1}{2} e^{0} = 0 $$
Відповідь: \( \int_{L} z | z | dz = 0 \)
