Рішення : знайдемо інтеграл від функції комплексної змінної: \int_{L} z | z | dz де L: = \{| z | = 1, \quad \Im(z) \geq 0 \}
Визначимо, що з себе представляє контур L .
| z | = 1 = > \sqrt{x^2 + y^2} = 1 => x^2 + y^2 = 1 отримали, що контуром є дуга кола при \Im(z) \geq 0 => y \geq 0 .
Висновок : контур L - дуга кола з центром у початку координат і радіусом R = 1 , яка розташована вище осі Ox.
Для знаходження інтеграла будемо використовувати комплексне число z в показовій формі z = \rho e^{i \phi} , де \rho = | z | = 1 , \phi = Arg (z) з умови задачі -дуга лежить вище осі Ox, випливає, що 0 \leq \phi \leq \pi . Отримали комплексне число z = e^{i \phi} => dz = ie^{i \phi} d \phi Підставляємо в інтеграл \int_{L} z | z | dz = \int_0^{\pi} e^{i \phi} * 1 * ie ^{i \phi} d \phi = > = i \int_0^{\pi} e^{2i \phi} d \phi = i * \frac{1}{2i}e^{2i \phi} | _0^{\pi} = > = \frac{1}{2} e^{2i\pi} - \frac{1}{2} e^{0} = 0
Відповідь: \int_{L} z | z | dz = 0