Рішення:
Скористаємося формулою: для будь-якого \(z \in C\) \( \cos(z) = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\), $$ f(z_0) = f(\frac{\pi}{3}i-1)= \cos(\frac{\pi}{3}i-1) = $$$$ = \frac{e^{i(\frac{\pi}{3}i-1)}+e^{-i(\frac{\pi}{3}i-1)}}{2}= \frac{e^{-\frac{\pi}{3}}e^{-i}+e^{\frac{\pi}{3}}e^{i}}{2} =$$ Скористаємося формулою Ейлера \( e^{iz} = \cos(z) + i\sin(z)\), отримуємо $$ = \frac{e^{-\frac{\pi}{3}}(\cos(1)-i\sin(1))+e^{\frac{\pi}{3}}(\cos(1)+i\sin(1))}{2} =$$ групуємо члени дійсної та уявної частини $$ = \frac{\cos(1) (e^{-\frac{\pi}{3}}+e^{ \frac{\pi}{3}})+i\sin(1)(e^{\frac{\pi}{3}}-e^{-\frac{\pi}{3}})}{2} = $$ застосуємо формули гіперболічних функцій \( sh(z) =\frac{e^z-e^{-z}}{2}; \quad sh(z) =\frac{e^z+e^{-z}}{2}\), отримуємо $$ = \cos(1)ch(\frac{\pi}{3})+i\sin(1)sh(\frac{\pi}{3}) $$
Відповідь: значення функції \(f(z) = \cos(z)\) в точці \(z_0 = \frac{\pi}{3}i-1\)
дорівнює \(f(z_0) = \cos(1)ch(\frac{\pi}{3})+i\sin(1)sh(\frac{\pi}{3})\)
