Запишем комплексное число \(z = 4+4i\) в тригонометрической форме
тригонометрическая форма комплексного числа $$ z = \rho (\cos(\phi) + i\sin(\phi)) \quad (1)$$ где \(\rho = |z|\), \( \phi = Arg z\)
1. найдем модуль числа z
\(|z| = \sqrt{x^2+ y^2} \), где действительная часть комплексного \(x = \Re z = 4\), мнимая часть комплексного числа \(y = \Im z = 4\), получаем $$|z| = \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2} $$
2. найдем аргумент комплексного числа $$arg z = \begin{cases} arctg\frac{y}{x}, \text{ если x > 0}\\ \pi + arctg\frac{y}{x}, \text{ если x < 0, y}\geq 0 \\ -\pi + arctg\frac{y}{x}, \text{ если x < 0, y < 0} \\ \frac{\pi}{2}, \text{ если x = 0, y > 0 } \\ -\frac{\pi}{2}, \text{ если x = 0, y < 0 } \end{cases}$$ т.к. \(x = 4 > 0\), \(y = 4 > 0\), получаем \(arg z = arctg\frac{y}{x} = arctg\frac{4}{4} = \frac{\pi}{4}\) подставляем в (1) $$z = 4\sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$$
Ответ: комплексное число \(z\) в тригонометрической форме \(z = 4\sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))\)
3. Запишем комплексное число \(z = 4+4i\) в показательной форме.
Любое комплексное число можно записать в показательной форме \(z = \rho e^{i\phi}\), где \(\rho = |z|\), \(\phi = Arg z\), подставляем значения модуля и аргумента $$z = 4\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}i} $$
Ответ: комплексное число \(z\) в показательной форме \( z = 4\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}i} \)
\(z = 4+4i = 4\sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = 4\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}i} \)
Запишем комплексное число \(z = 2-2i\) в тригонометрической форме
тригонометрическая форма комплексного числа $$ z = \rho (\cos(\phi) + i\sin(\phi)) \quad (1)$$ где \(\rho = |z|\), \( \phi = Arg z\)
1. найдем модуль числа z
\(|z| = \sqrt{x^2+ y^2} \), где действительная часть комплексного \(x = \Re z = 2\), мнимая часть комплексного числа \(y = \Im z = -2\), получаем $$|z| = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2} $$
2. найдем аргумент комплексного числа $$arg z = \begin{cases} arctg\frac{y}{x}, \text{ если x > 0}\\ \pi + arctg\frac{y}{x}, \text{ если x < 0, y}\geq 0 \\ -\pi + arctg\frac{y}{x}, \text{ если x < 0, y < 0} \\ \frac{\pi}{2}, \text{ если x = 0, y > 0 } \\ -\frac{\pi}{2}, \text{ если x = 0, y < 0 } \end{cases}$$ т.к. \(x = 2 > 0\), получаем \(arg z = arctg\frac{y}{x} = arctg\frac{2}{-2} = -\frac{\pi}{4}\) подставляем в (1) $$z = 2\sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) - i\sin(\frac{\pi}{4}))$$
Ответ: комплексное число \(z\) в тригонометрической форме \(z = 2\sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) - i\sin(\frac{\pi}{4}))\)
3. Запишем комплексное число \(z = 2-2i\) в показательной форме.
Любое комплексное число можно записать в показательной форме \(z = \rho e^{i\phi}\), где \(\rho = |z|\), \(\phi = Arg z\), подставляем значения модуля и аргумента $$z = 2\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{4}i} $$
Ответ: комплексное число \(z\) в показательной форме \( z = 2\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{4}i} \)
\(z = 2-2i = 2\sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) - i\sin(\frac{\pi}{4})) = 2\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{4}i} \)
