Задание:
в первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых,
во второй урне 20 шаров,из них 4 белых.
Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару.
Найти вероятность того, что взят один белый шар и один черный
Решение:
Обозначим события:
1. обозначим за событие \(A\) - из двух урн достали один белый шар и один черный.
2. события состоящее в извлечении из первой урны белого шара, обозначим через \(W_1\), черного шара через \(B_1\).
3. аналогичные события для второй урны обозначим соответственно через \(W_2\), \(B_2\).
Событие А наступает в случае \(B_1W_2\) и \(B_2W_1\), т.е. $$A = B_1W_2 + B_2W_1$$ Поскольку события \(B_1W_2\) и \(B_2W_1\) несовместны, то применим
Теорема сложения \(n\) несовместных событий:
Вероятность суммы \(n\) несовместных событий \(A_1,A_2,...,A_n\) равна сумме вероятностей этих событий : \(P(A_1+A_2+...+A_n) = P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)\),
получаем $$P(A)=P(B_1W_2 + B_2W_1) = P(B_1W_2)+P(B_2W_1) $$
Так как независимы события: \(В_1\) и \(W_2\) , \(В_2\) и \(W_1\) , то можно воспользоваться для каждой пары событий:
Теорема умножения вероятностей \(n\) независимых событий
Если события \(A_1,A_2,...,A_n\) - независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей \(P(A_1A_2*...*A_n) = P(A_1)P(A_2)*...*P(A_n)\)
$$P(A) = P(B_1W_2)+P(B_2W_1) = P(B_1)P(W_2)+P(B_2)P(W_1) \quad (1)$$
Найдем вероятности \( P(B_1), P(W_2), P(B_2), P(W_1)\)
Вероятности будем искать по формуле классического определения вероятности \(P(A) = \frac{m}{n}\)
\( P(B_1) = \frac{2}{10} = 0.2 \quad P(W_1) = \frac{8}{10} = 0.8\)
\( P(B_1) + P(W_1) = 1\)
\( P(B_2) = \frac{16}{20} = 0.8 \quad P(W_2) = \frac{4}{20} = 0.2 \)
\( P(B_2) + P(W_2) = 1\)
Подставляем результат в (1)
$$P(A) = P(B_1)P(W_2)+P(B_2)P(W_1) = 0.2*0.2+0.8*0.8 = 0.68$$
Ответ: вероятность того, что взят один белый шар и один черный равна \(P(A) = 0.68\)
