Задание: В классе 30 учеников: 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди ответивших учеников было 2 мальчика и одна девочка?
Решение: введем обозначение: событие A - наугад выбранная группа для ответа на три вопроса состояла из двух мальчиков и одной девочки.
Для нахождения вероятности применим формулу гипергеометрического распределения:
P_m = \frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n} где
N - общее количество учеников N = 30,
M - количество мальчиков в классе M = 20,
N-M - количество девочек в классе N-M=30-20 = 10,
n - количество вопросов, заданных учителем (количество учеников в отвечающей группе) n = 3
m - количество ответивших мальчиков m = 2
n-m - количество ответивших девочек n-m = 3-2 = 1
Подставляем данные в формулу гипергеометрического распределения:
P_m(n) = \frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n} = \frac{C_{20}^{2}C_{10}^{1}}{C_{30}^{3}} = = \frac{20!}{2!18!}*\frac{10!}{1!9!}* \frac{3!27!}{30!} = 0.468
Ответ: вероятность того, что среди ответивших учеников было 2 мальчика и 1 девочка P(A) = 0.468