Задание: В классе 30 учеников: 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди ответивших учеников было 2 мальчика и одна девочка?
Решение: введем обозначение: событие \(A\) - наугад выбранная группа для ответа на три вопроса состояла из двух мальчиков и одной девочки.
Для нахождения вероятности применим формулу гипергеометрического распределения:
$$P_m = \frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n} $$ где
\(N\) - общее количество учеников \(N = 30\),
\(M\) - количество мальчиков в классе \(M = 20\),
\(N-M\) - количество девочек в классе \(N-M=30-20 = 10\),
\(n\) - количество вопросов, заданных учителем (количество учеников в отвечающей группе) \(n = 3\)
\(m\) - количество ответивших мальчиков \(m = 2\)
\(n-m\) - количество ответивших девочек \(n-m = 3-2 = 1\)
Подставляем данные в формулу гипергеометрического распределения:
$$P_m(n) = \frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n} = \frac{C_{20}^{2}C_{10}^{1}}{C_{30}^{3}} =$$$$ = \frac{20!}{2!18!}*\frac{10!}{1!9!}* \frac{3!27!}{30!} = 0.468$$
Ответ: вероятность того, что среди ответивших учеников было 2 мальчика и 1 девочка \(P(A) = 0.468\)
