Задание:
вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по 2 выстрела, попавший в мишень первым получает приз.
Найти вероятность того,что первый стрелок получит приз.
Решение:
Всего по мишени будет проведено 4 выстрела (по 2 выстрела каждым стрелком)
Введем обозначение:
событие \(A\) - в мишень попал первый стрелок
событие \(A^1\) - в мишень попал первый стрелок при первом выстреле (по очереди).
событие \(A^3\) - в мишень попал первый стрелок при третьем выстреле (по очереди).
событие \(A_1\) - первый стрелок попал в мишень, а событие \( \overline{A_1}\) - первый стрелок промахнулся, тогда \(P(A_1) = 0.3\), а \(P(\overline{A_1}) = 0.7\)
событие \(A_2\) - второй стрелок попал в мишень, а событие \( \overline{A_2}\) - второй стрелок промахнулся, тогда \(P(A_2) = 0.3\), а \(P(\overline{A_2}) = 0.7\)
Для того, чтобы первый стрелок получил приз необходимо:
1. первый стрелок попал в мишень при первом выстреле:
Так как после первого попадания стрелок получает приз (дальнейшая стрельба не имеет значение или вообще прекращается), то событие \(A^1 = A_1\)
2. первый стрелок попал в мишень при третьем выстреле:
Так как после первого попадания стрелок получает приз (дальнейшая стрельба не имеет значение или вообще прекращается), то для того, чтобы первый стрелок получил приз после первого промаха, необходимо, чтобы второй стрелок также промахнулся, а первый стрелок попал при третьем выстреле (по очереди), событие \(A^3 = \overline{A_1A_2}A_1\)
Применим теорему сложения \(n\) несовместных событий:
Вероятность суммы \(n\) несовместных событий \(A_1,A_2,...,A_n\) равна сумме вероятностей этих событий : \(P(A_1+A_2+...+A_n) = P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)\),
получаем $$P(A)=P(A^1+A^3) = P(A^1)+P(A^3) = P(A_1)+P(\overline{A_1A_2}A_1) $$
Применим теорему умножения вероятностей \(n\) независимых событий
Если события \(A_1,A_2,...,A_n\) - независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей \(P(A_1A_2*...*A_n) = P(A_1)P(A_2)*...*P(A_n)\)
получаем $$P(A)= P(A_1)+P(\overline{A_1A_2}A_1) = P(A_1)+P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})P(A_1) = $$подставляем значения вероятностей $$= 0.3+ 0.7*0.7*0.3 = 0.447$$
Ответ: вероятность того, что первый стрелок получит приз равна \(P(A) = 0.447\)
