Дано координати точок A,B,C. Потрібно: 1) Скласти канонічне рівняння прямої AB; 2)Скласти рівняння

Дано координати точок  A(1;4;0), B(5;6;-4), C(2;3;-4).

1) Скласти канонічне рівняння прямої AB;
2) Скласти рівняння площини, що проходить через точку C перпендикулярно до прямої AB і точку перетину цієї площини з прямою AB;
3) Знайти відстань від точки C до прямої AB.

Знайти:

1) Скласти канонічне рівняння прямої AB;

запишемо рівняння прямої AB, як рівняння прямої лінії, що проходить через точки A(1;4;0) і B(5;6;-4).
Користуючись формулою рівняння прямої лінії, що проходить через дві задані точки

$$\frac{x - x_1}{x_2-x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$$ маємо  $$\frac{x - 1}{5-1} = \frac{y - 4}{6 - 4} = \frac{z - 0}{-4 - 0} =>$$ $$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z}{-2}$$
Відповідь: канонічне рівняння прямої лінії AB:  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z}{-2}$

2) Скласти рівняння площини, що проходить через точку C(2;3;-4) перпендикулярно до прямої AB і точку перетину цієї площини з прямою AB;

Розглянемо канонічне рівняння прямої лінії 

$$\frac{x - x_1}{m} = \frac{y - y_1}{n} = \frac{z - z_1}{p}$$ та рівня площини, що проходить через дану точку $A(x_0;y_0;z_0)$ $$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0 \quad (2)$$  Умова перпендикулярності прямої лінії та площини $$\frac{A}{m} = \frac{B}{n} = \frac{C}{p}$$ Напрямний вектор прямої лінії $\vec{s} = (m;n;p) => \vec{s} = (2;1;-2)$  є нормальним вектором $\vec{N}$ перпендикулярної до неї площини $\vec{s} = \vec{N} = (A;B;C) => \vec{N} = (2;1;-2)$. Тоді за формулою (2) маємо: $$2*(x-2) + 1*(y-3) - 2(z+4) = 0 => 2x + y - 2z - 15 = 0$$

Точка перетину цієї площини з прямою AB

Координати точки $M_1(x_1;y_1;z_1)$ перетину прямої із площиною мають вигляд

$$x_1 = x_0 - \frac{m(Ax_0+By_0+Cz_0+D)}{Am+Bn+Cp}$$ $$y_1 = y_0 - \frac{n(Ax_0+By_0+Cz_0+D)}{Am+Bn+Cp}$$ $$z_1 = z_0 - \frac{p(Ax_0+By_0+Cz_0+D)}{Am+Bn+Cp}$$ Підставляємо координати точки прямий A(1;4;0)
$$x_1 = 1 - \frac{2(2*1 + 4 - 2*0 - 15)}{2*2+1*1+(-2)*(-2)} = 3$$
$$y_1 = 4 - \frac{1(2*1 + 4 - 2*0 - 15)}{2*2+1*1+(-2)*(-2)} = 5$$
$$z_1 = 0 - \frac{-2(2*1 + 4 - 2*0 - 15)}{2*2+1*1+(-2)*(-2)} = -2$$
Відповідь: координати точки перетину прямої із площиною $M_1( 3; 5;-2)$

3) Знайти відстань від точки C(2;3;-4) до прямої AB.

Розглянемо канонічне рівняння прямої 

$$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z}{-2}$$ Напрямний вектор прямої лінії $\vec{s} = (m;n;p) = (2;1;-2)$
Знайдемо вектор $\vec{CM_1} = (3-2;5-3;-2+4) = (1;2;2)$

Формула для визначення відстані від точки до прямої лінії

$$d = \frac{| \vec{s} \times \vec{CM_1}|}{|\vec{s}|} \quad (2)$$
Знайдемо векторний добуток $$\vec{s} \times \vec{CM_1} = \left|\begin{array}{c}i & j & k\\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right| =$$ $$= i\left|\begin{array}{c}1 & -2 \\ 2 & 2 \end{array}\right|-j\left|\begin{array}{c}2 & -2 \\ 1 & 2 \end{array}\right|+ k\left|\begin{array}{c} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{array}\right| =$$ $$= 6i-6j+3l=(6;-6;3)$$  
Знайдемо модуль вектора $\vec{s} \times \vec{CM_1} = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{6^2+(-6)^2+3^2} = 9$ 
Знайдемо модуль вектора $\vec{s} = \sqrt{m^2+n^2+p^2} = \sqrt{2^2+1^2+(-2)^2} = 3$ 
Підставляємо у формулу (3) $$d = \frac{| \vec{s} \times \vec{CM_1}|}{|\vec{s}|} = \frac{9}{3} = 3$$  
Відповідь: відстань від точки C(2;3;-4) до прямої AB дорівнює $d = 3$