Дано координати точок A(-2;4-6), В(0;-6;1), С(4;2;1), М(7;-1;-8).
Знайти:
A) Рівняння площини \(Q\) , що проходить через точки \(A,B,C\)
Знайдемо рівняння площини, яка проходить через три задані точки: A (-2; 4-6), В (0; -6; 1), С (4; 2; 1).
Для вирішення завдання скористаємося рівнянням площини, що проходить через три задані точки в координатній формі $$ \left |\begin{array}{c} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2 -z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| = 0 $$ підставляємо координати вершин $$ \left |\begin{array}{c} x + 2 & y-4 & z + 6 \\ 0 + 2 & -6-4 & 1 + 6 \\ 4 + 2 & 2-4 & 1 + 6 \end{array}\right | = 0 => $$$$ \left |\begin{array}{c} x + 2 & y-4 & z + 6 \\ 2 & -10 & 7 \\ 6 & -2 & 7 \end{array}\right | = 0 => $$ знайдемо визначник, попередньо для спрощення розрахунків проведемо операції над рядками визначника: віднімемо з рядка 3 рядок 2. $$ \left |\begin{array}{c} x + 2 & y-4 & z + 6 \\ 2 & -10 & 7 \\ 4 & 8 & 0 \end{array} \right | = 0 => $$ розділимо третій рядок на 4 $$ \left | \begin{array}{c} x + 2 & y-4 & z + 6 \\ 2 & -10 & 7 \\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right | = 0 => $$ Розкладемо визначник за елементами третього рядка (це простіше, тому в третьому рядку один член дорівнює 0) $$ (-1)^{3 + 1} \left | \begin{array}{c} y-4 & z + 6 \\ -10 & 7 \end{array} \right | + (-1)^{3 + 2}*2* \left | \begin{array}{c} x + 2 & z + 6 \\ 2 & 7 \end{array} \right | = 0 => $$$$ 7(y-4) +10(z + 6 ) - 2[7 (x + 2) -2 (z + 6)] = 0 =>$$$$ 2x -y -2z - 4 = 0 $$
Відповідь: рівняння площини \(Q\) , що проходить через точки \(A,B,C \quad\): \( 2x -y -2z - 4 = 0\).
Б) Канонічне рівняння прямої, що проходить через точку М(7;-1;-8) перпендикулярно площині \(Q\)
Рівняння площини \(Q\) було знайдено в п.А \(2x -y -2z - 4 = 0 \), розглянемо його.
Згадаймо загальне рівняння площини \(Ax + By + Cz + D = 0 \), де вектор \(\vec{N} = (A; B; C) \) - вектор нормалі до площини. У знайденому рівнянні площини вектор нормалі має наступні координати \( \vec{N} = (2; -1; -2) \)
Згадаймо канонічне рівняння прямої \( \frac {x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{p} \quad (1) \), де координати \((x_0; y_0; z_0) \) - координати точки, що належить прямій, вектор \( \vec{s} = (m; n; p) \) - координати направляючого вектора (вектор паралельний прямій).
Т.ч. шукана пряма перпендикулярна площині, то вектора \( \vec{N} = \vec{s} \)
Підставляємо результат в рівняння прямої $$ \frac{x-7}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z + 8}{- 2} $$
Відповідь: канонічне рівняння прямої, що проходить через точку М(7;-1;-8) перпендикулярно площині \(Q \quad\): \( \frac{x-7}{2}= \frac{y+1}{-1}= \frac{z+8}{-2} \)
В) Точки перетину отриманої прямої з площиною \(Q\) із координатними площинами \(xOy,xOz,yOz\)
Знайдемо точку перетину прямої і площини, складемо систему рівнянь, запишемо рівняння прямої в параметричному вигляді \( \frac{x-7}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+8}{-2} = t\) => $$ \begin{cases} 2x -y -2z - 4 = 0\\ \frac{x-7}{2}= t \\ \frac{y+1}{-1}= t \\ \frac{z+8}{-2} =t \end{cases} => \begin{cases} 2x -y -2z - 4 = 0 \\ x = 2t+7 \\ y= -t -1 \\ z = -2t -8 \end{cases} =>$$$$ \begin{cases} 2(2t+7) - (-t -1) -2(-2t -8) - 4 = 0\\ x = 2t+7 \\ y= -t -1 \\ z = -2t -8 \end{cases} => \begin{cases} t = -3\\ x = 1 \\ y= 2 \\ z = -2 \end{cases} $$
Відповідь: точка перетину отриманої прямої з площиною \(Q \): \(\quad H(1;2;-2)\)
Знайдемо точки перетину прямої з координатними площинами:
точка перетину прямої з площиною \(xOy; \quad z=0 \quad \), \( \frac{x-7}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{0+8}{-2} =>\) запишемо систему рівнянь $$ \begin{cases}\frac{x-7}{2}=-4\\ \frac{y+1}{-1}= -4 \\z =0 \end{cases} => \begin{cases}x =-1\\ y=3 \\ z=0 \end{cases} $$
точка перетину прямої з площиною \(xOz; \quad y=0 \quad \), \( \frac{x-7}{2}=\frac{0+1}{-1} = \frac{z+8}{-2} =>\) запишемо систему рівнянь $$ \begin{cases}\frac{x-7}{2} = -1\\ \frac{z+8}{-2} = -1 \\ y =0 \end{cases} => \begin{cases}x = 5\\ z=-6 \\ y=0 \end{cases} $$
точка перетину прямої з площиною \(yOz; \quad x=0 \quad \), \( \frac{0-7}{2}= \frac{y+1}{-1}=\frac{z+8}{-2} =>\) запишемо систему рівнянь $$ \begin{cases} \frac{y+1}{-1} = -\frac{7}{2} \\ \frac{z+8}{-2} = -\frac{7}{2} \\ x =0 \end{cases} => \begin{cases}y = \frac{5}{2}\\ z=-1 \\ x=0 \end{cases} $$
Відповідь: точки перетину отриманої прямої із координатними площинами \(xOy: (-1;3;0) \quad\), \(xOz : (5;0;-6) \quad\), \(yOz: (0; \frac{5}{2};-1)\)
Г) Відстань від точки\( M\) до площини \(Q\)
У п.В були знайдені координати точки \(H (1; 2; -2) \) перетину прямої, що проходить через через точку \(M \) перпендикулярно площині \(Q \). Довжина відрізка \(HM \) це і буде відстань від точки \(M (7; -1; -8) \) до площини \(Q \).
Знайдемо відстань за формулою \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\), $$d = \sqrt{(1-7)^2+(2+1)^2+(-2+8)^2} = 9 $$
Відповідь: відстань від точки\( M(7;-1;-8) \) до площини \(Q\): \( d = 9\)
