Дано координати точок A(-2;4;-6), В(0;2;1), С(4;2;1), М(7;-1;-8).
Знайти:
А) Рівняння площини Q,що проходить через точку A,B,C;
Знайдемо рівняння площини, яка проходить через три задані точки: A(-2;4;-6), В(0;2;1), С(4;2;1).
Для вирішення завдання скористаємося рівнянням площини, що проходить через три задані точки в координатній формі $$ \left | \begin {array} {c} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2 -z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end {array} \right | = 0 $$ підставляємо координати вершин $$ \left | \begin {array} {c} x+2 & y-4 & z+6 \\ 0+2 & 2-4 & 1+6 \\ 4+2 & 2-4 & 1+6 \end {array} \right | = 0 => \left | \begin {array} {c} x+2 & y-4 & z+6 \\ 2 & -2 & 7 \\ 6 & -2 & 7 \end {array} \right | = 0 => $$ знайдемо визначник, попередньо для спрощення розрахунків проведемо операції над рядками визначника. Віднімемо від рядка 3 рядок 2 $$ \left | \begin {array} {c} x+2 & y-4 & z+6 \\ 2 & -2 & 7 \\ 4 & 0 & 0 \end {array} \right | = 0 => $$ Розкладемо визначник за елементами третього рядка (це простіше, тому в третьому рядку отримаємо з трьох доданків два рівні 0) $$ 4 (-1) ^ {1 + 3} \left | \begin {array} {c} y-4 & z+6 \\ -2 & 7 \end {array} \right | = 0 => (y-4)*7 + (z+6)*2 = 0 => $$$$ 7y + 2z - 16 = 0 $$
Відповідь: рівняння площини Q,що проходить через точку A,B,C \( 7y + 2z - 16 = 0 \). З отриманого рівняння випливає, що площини Q паралельна осі Ox
Б) Канонічне рівняння прямої, що проходить через точку М(7;-1;-8) перпендикулярно площині Q;
Рівняння площини Q було знайдено в п.A) \(7y + 2z - 16 = 0 \), розглянемо його.
Згадаймо загальне рівняння площини \(Ax + By + Cz + D = 0 \), де вектор \( \vec{N} = (A; B; C) \) - вектор нормалі до площини.
У знайденому рівнянні площини вектор нормалі має наступні координати \( \vec{N} = (0; 7; 2) \)
Згадаймо канонічне рівняння прямої \( \frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{p} \quad (1) \), де координати \( (x_0; y_0; z_0) \) - координати точки, що належить прямій, вектор \( \vec{s} = (m; n; p) \) - координати направляючого вектора (вектор паралельний прямій).
Так як шукана пряма перпендикулярна площині, то вектора \( \vec{N} = \vec{s} \)
Підставляємо результат в рівняння прямої $$ \frac{x-7}{0} = \frac{y + 1}{7} = \frac{z + 8}{2} $$
Відповідь: рівняння прямої в просторі, що проходить через точку M, перпендикулярно площині Q дорівнює: \( \frac{x-7}{0} = \frac{y + 1}{7} = \frac{z + 8}{2} \), отримане рівняння можна записати у вигляді \( \frac{y + 1}{7} = \frac{z + 8}{2}, \quad x=7 \)
В) Точки перетину отриманої прямої з площиною Q;
Знайдемо точку перетину прямої і площини, складемо систему рівнянь: $$\begin{cases} 7y + 2z - 16 = 0 \\ \frac{y + 1}{7} = \frac{z + 8}{2} \\ x=7 \end{cases} => \begin{cases} 7y + 2z - 16 = 0 \\ 2y - 7z - 54 =0 \\ x=7 \end{cases} => \begin{cases}y = \frac{220}{53}\\ z= - \frac{346}{53} \\ x=7 \end{cases}$$
Відповідь: Координати точки перетину прямої з площиною Q: \((7; \frac{220}{53}; - \frac{346}{53})\)
Точки перетину отриманої прямої з площиною xOy;
Знайдемо точку перетину прямої і площини xOy (z=0), складемо систему рівнянь: $$\begin{cases} z = 0 \\ \frac{y + 1}{7} = \frac{z + 8}{2} \\ x=7 \end{cases} => \begin{cases} z = 0 \\ y = 27 \\ x=7 \end{cases}$$
Відповідь: Координати точки перетину прямої з площиною xOy: \((7; 27; 0)\)
Точки перетину отриманої прямої з площиною xOz;
Знайдемо точку перетину прямої і площини xOz (y=0), складемо систему рівнянь: $$\begin{cases} y = 0 \\ \frac{y + 1}{7} = \frac{z + 8}{2} \\ x=7 \end{cases} => \begin{cases} y = 0 \\ z = -\frac{54}{7} \\ x=7 \end{cases}$$
Відповідь: Координати точки перетину прямої з площиною xOz: \((7; 0; -\frac{54}{7})\)
Точки перетину отриманої прямої з площиною yOz;
Пряма перпендикулярна осі Ox, тому вона паралельна площині yOz і точок перетину не має.
Відповідь: пряма і площина yOz паралельні.
Г) Відстань , від точки M до площини Q.
Для знаходження відстані від точки М (7; -1; -8) до площини \(7y + 2z - 16 = 0 \) застосуємо формулу $$ d = | \frac {Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{ \sqrt {A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2}} | $$ де \((x_0; y_0; z_0) \) - координати точки М (7; -1; -8), а \(Ax + By + Cz + D = 0 \) - рівняння площини \(7y + 2z - 16 = 0 \). Підставляємо координати і отримуємо $$ d = | \frac {0*7+ 7 (-1) + 2 (-8) - 16}{ \sqrt {0 ^ 2 + 7 ^ 2 + 2 ^ 2}} | = \frac{39}{ \sqrt{53}} $$
Відповідь: Відстань , від точки M до площини Q дорівнює \(d = \frac{39}{ \sqrt{53}}\)
