Решение:
1. Найдем уравнение эллипса, проходящего через точки A и B.
Уравнение эллипса имеет вид \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \). В уравнении неизвестны \(a;b\) - полуоси эллипса. Найдем их, решив систему уравнений. В задании сказано, что эллипс проходит через две точки \( A( \sqrt{6};-2) B(-3; \sqrt{2})\). Подставляем координаты точек в уравнение и решаем полученную систему двух уравнений $$ \begin{cases} \frac{( \sqrt{6})^2}{a^2}+ \frac{(-2)^2}{b^2}=1\\ \frac{(-3)^2}{a^2}+\frac{(\sqrt{2})^2}{b^2} = 1 \end{cases} => \begin{cases} \frac{ 6}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1\\ \frac{9}{a^2}+ \frac{2}{b^2}=1\end{cases} => $$$$ \begin{cases} \frac{ 6}{a^2}+ \frac{4}{b^2}=1\\ \frac{12}{a^2}=1 \end{cases} => \begin{cases}b = \sqrt{8} \\ a = \sqrt{12} \end{cases}$$
Подставляем полученный результата в уравнение эллипса $$ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1 $$ получили каноническое уравнение эллипса, проходящего через две заданные точки.
2. Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса.
Рассмотрим полученное уравнение эллипса. \( \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1 \) из уравнения видно, полуоси эллипса равны
\(a = \sqrt{12} \), \(b = \sqrt{8} \)
Найдем координаты фокусов. Определим, на какой оси лежит фокальная ось \(F_1F_2\). Т.к. a > b, то фокальная ось лежит на (вдоль) оси Ox, поэтому координаты фокусов будут следующими: \(F_1(-c;0)\) и \(F_2(c;0)\), где \(c=\sqrt{a^2-b^2} => c=\sqrt{12-8}= 2\), т.е. координаты фокусов будут равны \(F_1(-2;0)\) и \(F_2(2;0)\).
Найдем эксцентриситет эллипса.
Эксцентриситет эллипса рассчитывается по формуле \(\epsilon = \frac{c}{a}\) => \(\epsilon = \frac{2}{ \sqrt{12}} = \frac{1}{ \sqrt{3}}\)
3. Найти все точки пересечения эллипса с заданным кругом.
Согласно условия задачи, центр окружности находится в начале координат. Каноническое уравнение окружности \(x^2+y^2=R^2\). Подставляем значение радиуса и получаем заданное в условии задачи уравнение окружности $$x^2+y^2=3^2$$
Найдем точки пересечения окружности и эллипса, для этого решим систему уравнений $$ \begin{cases}x^2+y^2=3^2 \\\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1\end{cases} => $$$$ \begin{cases}x^2+y^2=9 \\x^2+\frac{3}{2}y^2=12\end{cases} => \begin{cases}x^2+y^2=9 \\ \frac{1}{2}y^2=3\end{cases}=> $$$$ \begin{cases}x = \pm \sqrt{3} \\ y= \pm \sqrt{6}\end{cases}$$
Получили 4 точки пересечения окружности и эллипса
\((-\sqrt{3};-\sqrt{6})\), \((-\sqrt{3};\sqrt{6})\), \((\sqrt{3};-\sqrt{6})\), \((\sqrt{3};\sqrt{6})\)
4. Построить эллипс и окружность.
