Для решения определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница \int_a^b f(x) \,dx = F(x) |_a^b = F(b) - F(a)
где
F(x) - первообразная функции
f(x). Т.е. найдем разность значений первообразной на концах отрезка. Приступаем
\int \frac{1}{x*(\ln^2x-5\ln x+6)} \,dx =
в интеграле мы видим
\ln(x), а как мы помним производная натурального логарифма равна
(\ln(x))' = \frac{1}{x}, а так же в интеграле есть дробь
\frac{1}{x}. Все это указывает на то, что уместно сделать замену переменной. Введем замену
\ln(x) = t => \frac{1}{x}dx = dt подставим замену в интеграл
= \int \frac{1}{t^2-5t+6} \,dt =
в знаменателе получили квадратное уравнение. Выделим в знаменателе полный квадрат
= \int \frac{1}{(t^2-5t+\frac{25}{4}) - \frac{25}{4} + 6} \,dt = \int \frac{1}{(t-\frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}} \,dt =
получили табличный интеграл вида
\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}| + C => = \frac{1}{2*\frac{1}{2}}\ln|\frac{(t-\frac{5}{2})-\frac{1}{2}}{(t-\frac{5}{2})+\frac{1}{2}}| + C = \ln|\frac{t-3}{t-2}| + C =
делаем обратную замену
t = \ln x, получим
= \ln|\frac{\ln x-3}{\ln x- 2}| + C
подставляем полученную первообразную в определенный интеграл в формулу Ньютона-Лейбница
\int_1^e \frac{1}{x*(\ln^2x-5\ln x+6)} \,dx =\ln|\frac{\ln x-3}{\ln x - 2}| |_1^e =
= \ln|\frac{\ln e-3}{\ln e - 2}| - \ln|\frac{\ln 1-3}{\ln 1 - 2}| = \ln|\frac{1-3}{1- 2}| - \ln|\frac{0-3}{0 - 2}| =
= \ln 2 - \ln\frac{3}{2} = \ln(\frac{2}{\frac{3}{2}}) = \ln(\frac{4}{3})
Ответ:
\int_1^e \frac{1}{x*(\ln^2x-5\ln x+6)} \,dx = \ln(\frac{4}{3})
