Найдем интеграл: \( \int_0^{\pi} \cos(5x)\cos(x) dx \)
Решение: проведем преобразования. Применим формулу произведения косинусов \( \cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}(\cos(a+b)+\cos(a-b))\), получаем \( \cos(5x)\cos(x) = \frac{1}{2}(\cos(6x)+\cos(4x))\) Подставляем $$\int_0^{\pi} \cos(5x)\cos(x) dx = \int_0^{\pi} \frac{1}{2}(\cos(6x)+\cos(4x))dx = $$ применяем формула Ньютона - Лейбница \( \int_a^b f(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\), получаем $$ \frac{1}{12}\sin(6x)+\frac{1}{8}\sin(4x))|_0^{\pi} = 0 $$
Ответ: \( \int_0^{\pi} \cos(5x)\cos(x) dx = 0 \)
